Re: [MD-sorular] çarpýmlarý max

[E. Mehmet Kıral]

Bu soruda sanırsam positif sayıların toplanması gerekiyor, yoksa
çarpımın bir üstsınırı yok.
Toplamları sabit olan n sayının çarpımlarının en yüksek olması için
bütün sayıların eşit olması gerekir. Aksini varsayalım. Bu durumda
birbirinden farklı iki sayı vardır. Bu iki sayı yerine bu sayıların
ortalamasını yerleştirirsek toplam sabit kalır, ancak Ali Nesin'in
yazdığı sebepten dolayı çarpım daha yüksek olur.
Şimdi en fazlayı elde edebilmek için kaç tane sayı toplamamız
gerektiğine bakalım:
Eğer n tane sayı toplarsak çarpım (M/n)^n 'dir. (Soru M = 61 için
sorulmuş). Burada n bir doğalsayı olmak zorunda ancak eğer biz onu bu
zorunluluğundan azad edersek, (şimdilik sonra bu zorunluluğu tekrar
koyarız) sonuca ulaşabiliriz. Bu ifadenin n'ye göre türevini alalım ve
sıfıra eşitleyelim:
(M/n)^n * (ln(M/n) - 1) = 0  

İkinci türevi ise (M/n)^2n * (ln(M/n) -1)^2 * (-1/n) < 0, yani türev
sıfırlandığı zaman maksimum çarpıma ulaşıyoruz.

Türev ise n = M/e 'de sıfırlanıyor. (Burada e = 2.718281828...)

Demek ki n'i M/e değerine yakın bir tamsayı alırsak (garantili olsun
diye iki tarafındakini de deneyelim) en büyük çarpımı elde ederiz.

M=61 için n =22 en büyük çarpımı veriyor: 5545713023

Aslında ilk soruda bir de toplanacak sayıların da tamsayı olma
zorunluluğu var, bu durumda soru oldukça zorlaşıyor ama bence e'ye
yakın tamsayılar seçerek (mesela 3) ve arta kalanları da deneyerek en
yüksek çarpıma ulaşılabilir. M = 61 için tahminen 2*2*3^19 en büyük
çarpım.

2005/8/26, Can Demir <demcan83 at yahoo.com>:
> 
> 
> Can Demir <demcan83 at yahoo.com> wrote: 
> Date: Fri, 26 Aug 2005 01:22:42 -0700 (PDT)
> From: Can Demir <demcan83 at yahoo.com>
> Subject: Re: [MD-sorular] çarpımları max
> To: miras oniki <mirasoniki at hotmail.com>
> 
> 
> Soru çözmeye çalıştıkça ilginç hale geliyor. Aşağıda belirteceklerim de
> sorunun çözümü değil sadece çözerken düşündüklerimdir:
>  
> 1- Ali Hoca'nın çözümü (fonksiyonun max'i) belki de akla gelen ilk çözüm ama
> sayıların adedinin 2 olmaması zorunluluğu cevabın doğru olmadığını
> gösteriyor.(Cevabı var mı ki? Doğru cevabı var mı ki?)
>  
> 2- Kullanılan sayıların doğal sayı, tamsayı ya da reel sayı olması sonucu
> etkileyebiliyor. Ama sanırım ki sorulan sayılar doğal sayı. Bunu düşündükten
> sonraki aşama ise sayıların tekrarlı olup olmayacağı yani 10+10+10+10+10+11
> gibi bir çözümün kabul edilip edilmeyeceği. Kanıtı olmamakla beraber
> 3*20+1=61 den 3^20 sayısının çok yüksek bir netice verdiğini bulabiliriz.
>  
> 3- Sorunun illa ki tek yanıtı olmayabilir. Bunu da sorunun çözümü için
> gerekli gidişatı bir matematiksel modele (şu ana kadar) dayandıramadığım
> için söylüyorum.
>  
> Başta da belirttiğim gibi yazdıklarım sorunu çözümüne hiçbir katkı da
> getirmeyebilir. Belki herkesin bildiklerini dillendirmişimdir. Ayrıca bu
> yazdıklarımın çözümle uzaktan yakından ilgisi olmadığını da biliyorum.
> Düşünmeye devam...
>  
> Can
> 
> miras oniki <mirasoniki at hotmail.com> wrote:
> 
> toplamları 61 eden sayıların çarpımları en çok kaçtır? (sayıların sayısı 2
> den fazla olabilir)
>  
> ________________________________
> Günüzü belirlerken hava durumu servisi ile MSN size yardımcı olsun! Burayi
> tiklayin! _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> 
> 
> ________________________________
> Start your day with Yahoo! - make it your home page 
> 
> 
> 
> __________________________________________________
> Do You Yahoo!?
> Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around 
> http://mail.yahoo.com 
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> 
> 
> 


-- 
E.M.K. (ElektroMotor Kuvvet)