Re: [MD-sorular] Re: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 11, Konu 9

[Ali ilik]

Bir cismin hacmi integralin uygulamaları konusuyla ilgilidir. Bu konudaki
teoremlerden biri yardımıyla dik koninin hacmini hesaplayabiliriz.



*Teorem: f(x), [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon olsun (a,b E R ve
a<b). Ayrıca her x E [a,b], f(x)>=0 olsun. y=f(x) eğrisi , y=0 , x=a ve x=b
doğruları ile sınırlandırılan alanın x ekseni etrafında 360 derece
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi V= � a b∫ f2(x)dx dir.*

* *

O halde, f(x)=(r/h)x fonksiyonunu ele alalım. f(x)=(r/h)x eğrisi, y=0 , x=0
ve x=h doğruları ile sınırlandırılan alanın x ekseni etrafında 360 derece
döndürülmesiyle elde edilen cisim, taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir
dik konidir. Hacmi de yukarıdaki teorem gereği V= �  a b ∫ f2(x)dx =

�  0  r ∫(r2/h2) x2 dx = �  [(r2/h2) x3]/3  0 h | = �  [(r2/h2) h3]/3  =(1/3)
� r2h olarak bulunur.



Not: Bu konuda aklıma şöyle bir soru geldi. Sözkonusu olan bir FONKSİYON
DE�İL DE, BİR BA�INTI OLSAYDI, yukarıdaki teoremi nasıl genişletirdik? Ya da
böyle-genişletilmiş-bir teorem vardır diye düşünüyorum. Öyle bir teorem
bilen varmı?



Yani biraz daha açayım.

 B=(G,R+U0,R+U0) üçlüsü bir bağıntı olsun. R reel sayıları göstersin. R+U0
kümesi ise reel sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşan kümeyi göstersin. O
bağıntı sürekli olmalı diyeceğim ama sürekli bağıntı diye bir şey duymadım,
fakat öyle bir şeyler seziyorum. Nasıl ifade ediliyor bilemiyorum. Bu B(x)
"sürekli??" bağıntısının grafiğini gösteren eğri,* y=0 , x=a ve x=b
doğruları ile sınırlandırılan alanın x ekseni etrafında 360 derece
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi* nedir? Sanırım, F, x ve B(x) e
bağlı bir "kapalı bağıntı??" olmak üzere V= *� a b∫ F(x,B(x))dx biçiminde
olabilir. Bu konuda çok somut olarak şu soruyu sorsam sanırım daha açık
olmuş olacağım:*

* *

*Soru: (x-2)^2+(y-10)^2=1 eşitliğini sağlayan noktalar kümesinin(Merkezi
M(2,10), yarıçapı 1 olan çember) x ekseni etrafında 360 derece
döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi nedir?*

* *

*Burada tanıdık bir şekil çıksın diye bir simit düşündüm. O yüzden çemberin
merkezinin apsisini, ordinatına göre çok daha küçük seçtim ki simit oluşsun
döndürünce. Aslında sanırım bir elips düşünseydim, simide daha benzer
olacaktı ama neyse çemberle işlem yapmak daha "kolay". Daha ileri gidersek,
1. bölgede bir kalp şekli düşünelim, o kalbi x ekseni etrafında 360 derece
döndürürsek hacmi nasıl buluruz?? Genel olarak aşağıdaki döndürmelerlerden
oluşan hacimleri nasıl hesaplarız?*

* *

*a)KAPALI OLMAYAN BİR E�RİNİN DÖNDÜRÜLMESİ: bir bağıntının grafiğinin(kapalı
olmayan sürekli bir eğri) bahsettiğim gibi döndürülmesiyle oluşan şeklin
hacmi. b)KAPALI VE SÜREKLİ BİR E�RİNİN DÖNDÜRÜLMESİ: eğer bu eğri kapalıysa
işler daha "zorlaşıyor" sanırım. Mesela çember ve kalp kapalı şekiller
malum.*

* *

* Calculus II, hatta Calculus III, derslerini almama rağmen böyle bir konu
hatırlamıyorum. Acaba hangi derste(lisans, yükseklisans, doktora) bu konu
işleniyor. Bilen vardır diye düşünüyorum.*

* *

* Saygılarımla,*

* *

*Ali Ä°lik*

*www.antoloji.com/ali_ilik*


14.12.2005 tarihinde serkan narman <serkannarman at gmail.com> yazmış:
>
> arkadaşlar kesik koninin hacmindeki 1/3 çarpanını nasıl bulabiliriz
> ilgilenen arkadaşlara teşekkürler
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


--
www.antoloji.com/ali_ilik

"A writer is not so much someone who has something to say as he is someone
who has
found a process that will bring about new things he would not have thought
of if he had not
started to say them." William Stafford, A Way of Writing.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20051215/beb28b9d/attachment.htm