[MD-sorular] FW: bir soru

2 Kas 2005 Çar 21:25:30 EET

Sevgili Emin, "tanımsız(undefined)" ve "belirsiz(undetermined)" birbiriyle
zaman zaman karıştırılan, birbirine yakın fakat farklı anlamlara gelen iki
kavramdır.
 Tanımsız: Belirli kurallara göre tanımı olmayan, tanımlanmamış.
Belirsiz: Sonucunun ne olduğu belirli olmayan, değişik sonuçlar alabilen.
 olarak ifade edebiliriz matematikten bahsediyorsak.
 Burdan şunu hemen görebiliriz, bir ifadenin belirsiz olabilmesi için önce o
ifade tanımlı olmalıdır. Zira bir ifade hem tanımsız hem belirsiz olmaz.
Tanımsız is orada "akan sular durur." Üzerine "fazla konuşmaya" gerek
duyulmaz genelde. Tanımlı olmayan bir ifadeye belirsiz demek anlamsızdır,
böyle bir şey doğru olmaz.
 Örneğin 0/0 reel sayılar kümesinde tanımsızdır. Fakat belirsiz
değildir(belirli de değildir!), sadece tanımsızdır.
 Aşağıdaki kısmı detay veriyorum. Yoksa sorunun yanıtı buraya kadar! Özet:
Tanımsız ile belirsiz farklı şeylerdir. Tanımsız tanımı olmayandır, belirsiz
ise TANIMI OLAN FAKAT BELİRLİ OLMAYANDIR.
 Şuna bir bakalım: f(x)=3x/x, g(x)=8x/x olsun. x=0 için hem f(x), hem de
g(x) tanımsızdır. Çünkü reel sayılar kümesinde sıfır ile bölme
tanımlanmamıştır. Eğer x=0 noktasında f(x) ve g(x) fonksiyonlarının limiti
nedir diye düşünecek olursak, f(x) in limiti 1 dir g(x)in limiti ise 8 dir.
Ama bunu "0/0 ifadesi" belirsizdir şeklinde yorumlamamalıyız! Hatta sıfır
bölü sıfır (0/0) Reel sayılar kümesinde değildir. Yani kaba bir tabirle; 0/0
sayı bile değildir.
 Ama şöyle bir cümle kurabiliriz, "fonksiyonlarla uğraşırken karşımıza sıfır
bölü sıfır sayısı çıkarsa, sorudan soruya değişmek suretiye farklı sonuçlar
bulabiliriz". Bu çok doğal , zatenx->0 için, 3x/x ve 7x/x ifadesinde
bölümlerin limiti kuralı uygulanamaz, çünkü bölümlerin limiti teoremindeki
ifadelerden birinde x->a limg(x) farklı sıfır yazar, kitaplarda
bulabilirsin. Payda kısmındaki fonksiyonun limitinin(söz konusu noktada)
sıfırdan farklı olabilmesi gerekir "bölümün limiti limitlerin bölümüdür"
diyebilmemiz için. Ancak ve ancak, "paydadaki fonksiyonun o noktada(f/g)(x)
in limitinin sorulduğu noktada) limiti sıfırdan farklı ise bölümlerin limiti
limitlerin bölümüdür diyebiliriz. Ayrıca Calculus I den, bir Teorem gereği
biliyoruz ki bir fonkiyonun bir noktadaki limiti sıfırdan farklı ise öyle
bir delta komşuluğu bulunabilir ki o komşulukta fonkisyonun bırakın limitini
kendisi de sıfırdan farklı olur!
3x/x ve 7x/x ifadelerinde x=0 için limit alınırken xler sadeleştirilebilir
çünkü limitin tanımı gereği delik komşuluk sözkonusudur. (|x-a<d değil
0<|x-a|<d almamızın anlamı işte bu durumlarda ortaya çıkar!) Yoksa delik
olmayan komşuluk alınarak da görece limit tanımı mevcuttur, yapılabilir ama
bu sefer f(a) nın tanımlı olması gerekir!! ama delik olmayan komşulukta f(a)
nın tanımlı olması gerekmez. İlave bir not: a noktasının f fonksiyonunun
domaininde(tanım kümesinde) olması bile gerekmez limitten bahsedebilmemiz
için o noktada, böyle bir kıstlama yoktur!
 E peki şöyle bir şey de var: """0/0=1 olsun. İçler dışlar çarpımından 0=0x1
dir diyebiliriz ve 0/0=2 olsun. Yine içler dışlar çarpımından 0=0x2 dir.
Yani her iki halde de 0=0 sonucunu elde ederiz o zaman 0=0 sonucu
mantıklı(tutarlı,doğru) olduğuna göre yaptığımız işlem de doğrudur. Öyleyse
0/0 BELİRSİZDİR diyebiliriz. 0/0 her sayıya eşittir. Çünkü içler dışlar
çarpımı yaparak hep 0=0 buluruz.""" MU ACABA!?
HAYIR!! çünkü, a/b=c ise a=bxc ifadesi ancak ve ancak b sıfırdan farklı ise
yapılabilir. Yani içler dışlar çarpımı yaparken paydada sıfır olmaması
gerekir. Halbuki 0/0 ın paydası sıfırdır. Kaldı ki 0/0 reel sayı değil iken
nasıl oluyorda bazen şuna bazen buna eşittir diyerek onu bir reel sayı gibi
görebiliriz? Burada belki sezgisel olarak şunu söyleyebiliriz, eğer sıfır
ile bölmeyi tanımlasaydık, o zaman BELİRSİZ SONUÇLAR elde edecektik! Aslında
sıfır ile bölmenin tanımlı olduğu işlemler vardır. Burada konu neye sıfır
dediğimizle alakalıdır.Ayıca mesela öyle işlemler vardır 1+1=27 yapar.. işte
bu işlem mesela +:RxR->R, x+y=30x-3y , 1+1=30x1-3x127 dir.
 Aslında daha derine girersek reel sayılar cisminde(R,+, .) Burada "+" ve
"." işlemleri ordinary addition and
multiplication(adi/sıradan/bayağı/bildiğimiz/liseden bildiğimiz! işlemler).
İşte bu reel sayılar cisminde 0 elemanının çarpma işlemine göre tersi
yoktur. O yüzden 0=0xa ise 0x0'=(0x0')xa ve 1=aslında "sıfırın sonsuz tane
tersi vardır gibi gelebilir çarpmaya göre çünkü her 0'ER, 0.0'=0'.0=1 dir"
ama bir işlemde bir elemanın tersi tektir(unique). Yani 0/0=a ise biryerlere
varmamız için sıfırın tersine ihtiyacımız var ama "malesef" sıfırın çarpma
işlemine göre tersi yok. Sıfır ile bölmenin neden tanımlanmadığı ayrıca asal
sayıların kimliği,tanımı, öklid algoritması gibi kavramların birbirleriyle
uyuşması, sağlam bir zemine oturması açısından da önemlidir diye
düşünüyorum.
 Matematikte sadece matematik yapmak demek, matematikçiler için yeni
hipotezler üretmek, konjektürleri çözmek, teoremleri doğrulamak değildir.
MATEMATİĞİ DÜZENLEMEK de çok önemlidir. Örneğin 20. yüzyılda matematiğe en
çok katkı yapan matematikçilerden olan Alman David Hilbert ve arkadaşları
büyük uğraşlar sonucunda çeşitli aksiyomları tekrar derleyerek, toparlayarak
16,17,18,19. yüzyıllardaki gelişmelerin etkisi hızla sürerken bir
"DERLEME-TOPARLAMA-GÖZDEN GEÇİRME" gibi son derece sorumluluk duygusu
barındıran ve bir o kadar da önemli bir görevi yerine getirmişlerdir.
Hilbert ve diğer matematikçiler zaman zaman sürekli yeni şeyler üretmek
yerine meslekdaşlarının elde ettikleri sonuçları incelemeyi
gerçekleştirdiler. Doğrusu da budur. Dünyada neler oluyor neler bitiyor
bilmeden, birşeyleri yeniden keşfetmek yerine keşfedilenleri incelemek ve
keşfedilmemiş bir şeyi keşfetmek mühimdir. Örneğin Nisan 2002 den Haziran
2005 e kadar Poincare Konjektürünün Perelman tarafından yapılan
çözümü(sanıyı doğruladığını iddia ettiği makalesi) incelenmiştir. Düşünelim,
demek ki bazı matematikçiler var ve bunlar bunu incelemişler ve sonunda evet
bize göre doğru yapmışsın Perelman demişlerdir İtalyada bir Fizik
kongresinde(Haziran 2005). (http://news.ictp.it/index.php?p=91). Ancak bir
başka matematikçi gurubu çıkar bize göre "yanlış Perelmaın çözümü, hatalı
"derse olay şöyle sonuçlanır. Ancak dünyanın geniş kesiminden daha fazla,
çok sayıda matematikçi çözümü doğrularsa yasalaşır Poincare Sanısı. Bu da
doğal bir süreçtir bilim açısından
 "The Poincaré Conjecture, a 100-year-old mathematical conundrum, has been
solved. The proof by the Russian mathematician Grigori Perelman, which he
first presented in 2002, has been confirmed by an international group of
mathematicians whose findings were presented to participants at a conference
held at the Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics (ICTP)
in Trieste, Italy, on 17 June. The 60 participants, more than half from the
developing world, reaffirmed the approving judgement of the mathematicians"
 Yani bireysel zaferi düşünürken çok dikkatli olmak lazım özellikle
matematik dünyasında! Kimseyle konuşmayıp odana kapanıp 10 yıl uğraşıp 8.
yılda birşey bulursan, belki senin 4. yılında o şey bulunmuştur. Ve "boşuna"
uğraşmış olursun. Hangi alanda çalışıyorsa bir matematikçi, o alanda tüm
çalışmaları su gibi yuttuysa bile, hala sık sık intarnet, uluslararası
dergi, haber alma kaynakları vb yi takib ederek etkileşim halinde olmalıdır.
Ancak çok spesifik ve daha önce hiç yapılmayan çalışmalar yapılıyorsa o
zaman eve kapanırsın.Tamamen kendi dünyandır o ayrı.. Kaç matematikçi Ricci
Flow u Perelman kadar biliyor? Pek az. Adam bu konuda üstat. O evine
kapanabilir!
 Şimdi ne alakası var 0/0 ile bunların??
 İşte bilimde,matematikte en önemli şeylerden birisi NE YAPTIĞIMIZI
BİLMEKTİR. TANIMLAR matematikte çok önemlidir. Öğrencilerin
başarısızlıklarının altında yatan önemli etmenleden biri de tanımları iyi
okumamaktır, önem vermemektir. Halbuki tanımlar iyi okunsa "neredeyse"
geriye pek birşey kalmıyor, bağlantıları sezmek kalıyor.
 O yüzden bizim burada "Ya belirsizdir, tanımsızdır işte şu yüzden diye iki
üç satırda yazdığımız şeyleri bize iki üç satırda yazdıran aslında yüzyıllar
boyunca matematikçilerin kavramları daha iyi tanımlama ve bu kavramlar
arasındaki ilişkileri daha sağlam temellere dayandırarak bilimin,
matematiğin daha anlaşılır olmasına katkı yapmaları ve böylelikle
bilimin/matematiğin daha düzenli,hızlı ve etkin bir biçimde gelişmesi aşkı
için yanıp tutşmaları ve herşeyi mükemmele yakın bir biçimde tanımlamalrı
yatar."
 Örneğin İlk okuduğumda hiçbirşey anlamamıştım ve ağlamıştım Cauchy'nin
limit tanımında. epsilonlar deltalar..ama defalarca okudum anlamaya çalıştım
ve şimdi hem ingilizcesini hem türkçesini tam virgülleri ve harflerinde hata
bile olmadan 10 saniyeden daha az bir sürede yazıyorum kağıda. İnat eden, bu
uğurda mücadeleyi bırakmayan, anlamaya çalışan herkes de kolaylıkla
yazabilir.
 Sevgilerimle
 Ali

 02.11.2005 tarihinde ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> yazmış:
>
>   Sorunuzu bu amac icin kurdugumuz bir listeye yolluyorum. Liste hakkında
> genel bilgiye buradan ulaşabilirsiniz:
>
>  http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>  Basarilar dilerim.
>
> Ali Nesin
>
>  -----Original Message-----
> *From:* kuarkx [mailto:kuarkx at mynet.com]
> *Sent:* 02 Kasım 2005 Çarşamba 12:25
> *To:* anesin at bilgi.edu.tr
> *Subject:* bir soru
>
>  merhaba.... adım emin demiroğlu liseyi geçen yıl bitirdim.üniversitesınavlarına
> hazırlanıyorum.geçen yıl düşük puan çekince tercih yapmadım.bu sene işler
> daha iyi gidiyor .MD yi iki yıldır takip ediyorum.yaptığınız işten ötürü
> sizi kutluyorum.size daha önce de mail yollamıştım.bazen matematikle
> uğraşırken cevaplarından tam olarak tatmin olmadığım sorular oluyor.bunedenle mail kutunu arasıra meşgul
> edebilirim.ben bazı matematikçilerden şikayetçiyim.herşeyin kısa yolunu
> gösterip ötesini salla diyorlar.bu durum benim çok sinirimi
> bozuyor.geçenlerde kafama birşey takıldı.size soracağım.matematiktebelirsizlikle tanımsızlık arasındaki fark nedir? eğer cevaplarsınız çok
> sevinirim.iyi çalışmalar....!!!!
>
>  ____________________________________________________________________________
>
> Bilardo'nun gerçek keyfini burada rakiplerle yaşayın!<http://market.mynet.com/market/bilardo/secim.asp>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20051102/6ff8197d/attachment.htm 