[MD-sorular] Re: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 10, Konu 8

[OktayD]

Sayın *Ali İlik{*
 1) ABC bir üçgen, P üçgenin içinde herhangi bir nokta olsun. ABC üçgeninin
iç teğet çeberinin yarıçapına r diyelim ve r>1 olsun. Gösteriniz ki PA>2
VEYA PB>2 VEYA PC>2 dir."

 Sanırım güzel bir çözüm buldum. Olmayana ergi kullanacağım. Onun için
önermenin kanıtını 2 ye yazacağım:

2) "Olamayana ergi" yi de denedim fakat yine sonuca ulaşamadım! Yani "PA>2
VEYA PB>2 VEYA PC>2 dir." Önermesinin değilini alıp bir çelişki bulmaya
çalıştım fakat bulamadım! Değil önerme malum şu şekilde: PA<=2 VE PB<=2 VEYA
PC<=2 dir."

O önermenin değilini hatalı yazmışsınız: Sanırım "PA<=2 ve PB<=2 *ve* PC<=2"
[E.1] demek istediniz ya da "PA<=2 ve PB<=2 veya *PC>2*" [E.2]. Ben E1'i
kullanacağım. Yani P den köşelere çekilen tüm doğru parçaları 2 den her
zaman küçükeşittir, sonra buradan çelişki elde deceğim. O zaman 2+2+2=*
6>=PA+PB+PC* olur [E.3] ve r>1 koşulunu [E.4] unutmayalım. Ben üst sınır
alıp işlem yapacağım. Böylece "ne olursa olsun" olacak. Elimizde *PA+PB+PC>u
* eşitziliği var. Alt sınırı alırsak, E3 ten:
PA+PB+PC=6
*6>u* [E.5]
elde ederiz. Şimdi işe biraz hile katalım: İç teğet çemberin tam teğet
noktasından a, b ve c kenarlarını ikiye ayıralım. Teğet noktalara D, E, F
dersek görürüz ki AD=AE=*x*, BE=BF=*y* ve CF=CD=*z* olur. Burada 2u=2(x+y+z)
yani *x+y+z=u* olur [E.6]. Ayrıca bu x, y, z den en az birinin diğerlerinin
herbirinden büyükeşit olacağını gösterebiliriz. Eşkenar 3gen için hepsi
eşittir diğerleri için biri hep büyüktür, x>=y ve x>=z olsun; buradan
2x=>y+z ve her tarafa x eklersek 3x>=x+y+z elde edilir. E6'dan
*3x>=2u*çıkar. Burada çok çok önemli bir nokta var.
*x>2* olmak zorundadır çünkü E4'ten 2r>2 olduğu için 2r den küçük bir kenarı
olan bir üçgen olamaz, diğer iki kenar çemberi içine alacak şekilde
birleşemez. x>2 den 3x>6 olur. Yani 3x>=2u eşitsizliğinden *6>=2u* [E.7]
elde edilir. Oysa E5'te *6>u* demiştik. *ÇELİŞKİ !!* Önerme kanıtlanmıştır.

3) Çözemedim...
 *}*
 Saygı Sevgi ve Mantık...
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20051106/e975abbd/attachment.htm