[MD-sorular] partisyon ve diziler dizisi

[E. Mehmet Kıral]

Bir de şöyle bir ayrıştırma mümkün, bu durumda hem [0,1] aralığı ikisi
de sayılamaz sonsuzlukta olan iki parçaya ayrılıyor, hem de bu
aralıklar her yerde sayılamaz sonsuzlukta. ve ayrıca aralarında da
yoğunlar.

[0,1] aralığındaki sayıların 2'li sistemdeki yazılışını düşünelim. Bu
yazılışlar 0 ve 1'lerden oluşan dizilerdir. Şimdi de bu diziler
üzerinden bir limit tanımlayalım.

S_0 (n) bir dizide n. haneden önceki 0'ların sayısı olsun.

n sonsuza giderken S_0(n)/n ifadesinin limitine bakalım. Eğer bu limit
varsa dizimiz A kümesinde, eğer limit yoksa B kümesinde olsun.

Bu bir parçalanıştır. Çünkü [0,1] aralığındaki her reel sayının bir
tane 0,1 dizisi olarak gösterilişi vardır. Bazı sayıların iki tane
gösterilişi vardır, örneğin 0,100011000000..... ve 0,1000101111111....
gibi ancak bu sayının hangi kümede olduğunu değiştirmez, çünkü ilkinde
de ikincisinde de S_0(n)/n ifadesinin bir limiti vardır (ilkinde 1
ikincisinde 0).

Ayrıca bir dizi için bu ifadenin ya bir limiti vardır ya da yoktur.
Dolayısıyla bu bir ayrıştırmadır.

Şimdi A ve B kümelerinin ikisinin de [0,1] aralığı kadar eleman
içerdiğini gösterelim.
Belirttiğimiz limiti [0,1] aralığındaki her reel sayıya yakınsayan bir
dizi vardır. Bu diziyi şöyle bulabiliriz. 0,0 ile başlarız. Limit,
istediğimiz sayıya ulaşana kadar 0 ekleriz. O sayıyı geçer geçmez 1
ile devam ederiz dizimize, sayının altına düşünce tekrar 0 ekleriz ve
bunu böyle sürdürürüz. Bu dizi de istediğimiz reel sayıya ulaşır.

Yani [0,1] aralığındaki her reel sayıyı farklı bir yakınsayan dizi ile
ilişkilendirebiliriz. Dizileri de basit bir şekilde (2 tabanında
yazılışlarına bakarak) aynı aralıktaki reel sayılarla
ilişkilendirebiliyoruz. Demek ki A kümesi ile [0,1] aralığı aynı
eleman sayısına sahip.

B kümseinin de aynı özelliği sağladığını görmek için bu sefer reel
sayıları dizilerin verdiğimiz ifadelerinin limsup'ları ile
ilişkilendirelim. (aslında geçen sefer de aynı şeyi yaptık)

Şimdi de A'nın farklı her iki elemanı arasında B'nin bir elemanı
olduğunu gösterelim:
x ve y elemanıdır A olsun. (x<y)
2 tabanında yazılışlarına bakalım (bir yerden sonra tekrarlayan 1'leri
olmasın). Birbirinden farklı oldukları haneye kadar gidelim. Sonra
x'ten büyük olmaya dikkat edecek şekilde 1'ler ekleyelim. Taa ki ifade
yeterince düşene kadar, sonra ifadenin yükselmesi için bir sürü 0
ekleyelim sonra 1 sonra 0 öyle ki bunun bir limiti olmasın. (Kendinden
önceki eleman sayısı kadar 1 koymak ve kendinden önceki eleman
sayısının 2 katı kadar 0 koymak değeri 1/4 ile 1/2 arasında gezindirir
durur.
Yani bu dizinin bir limiti yoktur. Dolayısıyla alakalı sayı x ile y
arasındadır ve B kümesindedir.)

Aynı şekilde B kümesinden iki sayının arasında olduğumuzdan emin
olduktan sonra sırf 0 ile devam ederek A kümesinden bir sayıya
ulaşırız.


2005/9/25, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> Çözümün çok ilginç, teşekkür ederim.
>
> 2005/9/25, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> > A(x) = {a elemanıdır [0,1] : a = x + q ve q bir rasyonel sayı.}
> >
> >
> > B kümesi de her x gerçel sayısı için A(x) kümelerinin kümesi olsun.
> >
> > Bu durumda B, [0,1] aralıığının bir parçalanışıdır:
> > 1) x,y elemanıdır B olsunlar (x eşit değildir y)
> > Bu durumda eğer x ile y'nin ortak bir elemanı olursa, bütün elemanları
> > aynı olur. Yani B'nin elemanları ayrık kümelerdir.
> > 2) B'nin birleşimi [0,1] aralığıdır çünkü en azından her x elemanıdır
> > [0,1] için x elemanıdır A(x)
> >
> > Ayrıca B'nin her elemanının [0,1] aralığındaki rasyonel sayılar kadar
> > elemanı vardır. Dolayısıyla B kümesi istenen her koşulu sağlar.
> >
> >
> > 2005/9/25, erkan karakaya <hattusas388 at gmail.com>:
> > > peki şuna ne dersin
> > > "[0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her biri sonsuz elemanli
> > > olan bir partisyonu var mıdır?" sorusunda, sözkonusu alt kumelerin her
> > > birinin buyuklugunu, dogal sayilar kumesinin buyuklugu ile sınırlandirirsak
> > > sorunun yaniti ne olur?
> > >
> > >
> > > 25.09.2005 tarihinde erkan karakaya <hattusas388 at gmail.com> yazmış:
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Sanırım
> > > >
> > > >
> > > > A=[0,1/2) araligindaki rasyonaller ile [1/2,1] araligindaki irrasyonaller
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > B=[0,1/2) araligindaki irrasyonaller ile [1/2,1] araligindaki rasyonaller
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > kümeleri oluyorNe dersin
> > > >
> > > >
> > > > 25.09.2005 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com > yazmış:
> > > >
> > > > > O değil de [0,1] aralığını her iki küme de [0,1] elemanı ile aynı
> > > > > büyüklüğe sahip olacak şekilde ve iki parça da aralarında yoğun olacak
> > > > > şekilde iki parçaya ayırabilir misiniz.
> > > > > Yani: A ve B iki küme olacak ve
> > > > > 1) A U B = [0,1]
> > > > > 2) |A| = |B| = | [0,1] |
> > > > > 3) her x,y elemanıdır A için x ve y'nin arasında bir z elemanıdır B
> > > > > vardır. (x < z < y veya y < z < x)
> > > > >
> > > > > 2005/9/25, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> > > > > > n=1'den başlayarak şu kümeler
> > > > > > (1/(n+1),1/n] gerekli parçalanışı verir.
> > > > > >
> > > > > > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>:
> > > > > > > [0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her biri sonsuz
> > > elemanlı
> > > > > > > olan bir partisyonu var mıdır?
> > > > > > >
> > > > > > > Soru'nun matematiksel ifadesi ekte...
> > > > > > > _______________________________________________
> > > > > > > MD-sorular mailing list
> > > > > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > > > >
> > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > --
> > > > > > E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > --
> > > > > E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
> > > > >
> > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > _______________________________________________
> > > MD-sorular mailing list
> > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > >
> > >
> > >
> >
> >
> > --
> > E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
> >
>
>
> --
> E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
>


--
E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)