[MD-sorular] partisyon ve diziler dizisi

[E. Mehmet Kıral]

Bu verdiğim A ve B kümelerinin uzunluğunu ölçebilecek, ve hatta nasıl
ölçtüğünü söyleyebilecek bir insan var mı?

2005/9/25, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> Bir de şöyle bir ayrıştırma mümkün, bu durumda hem [0,1] aralığı ikisi
> de sayılamaz sonsuzlukta olan iki parçaya ayrılıyor, hem de bu
> aralıklar her yerde sayılamaz sonsuzlukta. ve ayrıca aralarında da
> yoğunlar.
>
> [0,1] aralığındaki sayıların 2'li sistemdeki yazılışını düşünelim. Bu
> yazılışlar 0 ve 1'lerden oluşan dizilerdir. Şimdi de bu diziler
> üzerinden bir limit tanımlayalım.
>
> S_0 (n) bir dizide n. haneden önceki 0'ların sayısı olsun.
>
> n sonsuza giderken S_0(n)/n ifadesinin limitine bakalım. Eğer bu limit
> varsa dizimiz A kümesinde, eğer limit yoksa B kümesinde olsun.
>
> Bu bir parçalanıştır. Çünkü [0,1] aralığındaki her reel sayının bir
> tane 0,1 dizisi olarak gösterilişi vardır. Bazı sayıların iki tane
> gösterilişi vardır, örneğin 0,100011000000..... ve 0,1000101111111....
> gibi ancak bu sayının hangi kümede olduğunu değiştirmez, çünkü ilkinde
> de ikincisinde de S_0(n)/n ifadesinin bir limiti vardır (ilkinde 1
> ikincisinde 0).
>
> Ayrıca bir dizi için bu ifadenin ya bir limiti vardır ya da yoktur.
> Dolayısıyla bu bir ayrıştırmadır.
>
> Şimdi A ve B kümelerinin ikisinin de [0,1] aralığı kadar eleman
> içerdiğini gösterelim.
> Belirttiğimiz limiti [0,1] aralığındaki her reel sayıya yakınsayan bir
> dizi vardır. Bu diziyi şöyle bulabiliriz. 0,0 ile başlarız. Limit,
> istediğimiz sayıya ulaşana kadar 0 ekleriz. O sayıyı geçer geçmez 1
> ile devam ederiz dizimize, sayının altına düşünce tekrar 0 ekleriz ve
> bunu böyle sürdürürüz. Bu dizi de istediğimiz reel sayıya ulaşır.
>
> Yani [0,1] aralığındaki her reel sayıyı farklı bir yakınsayan dizi ile
> ilişkilendirebiliriz. Dizileri de basit bir şekilde (2 tabanında
> yazılışlarına bakarak) aynı aralıktaki reel sayılarla
> ilişkilendirebiliyoruz. Demek ki A kümesi ile [0,1] aralığı aynı
> eleman sayısına sahip.
>
> B kümseinin de aynı özelliği sağladığını görmek için bu sefer reel
> sayıları dizilerin verdiğimiz ifadelerinin limsup'ları ile
> ilişkilendirelim. (aslında geçen sefer de aynı şeyi yaptık)
>
> Şimdi de A'nın farklı her iki elemanı arasında B'nin bir elemanı
> olduğunu gösterelim:
> x ve y elemanıdır A olsun. (x<y)
> 2 tabanında yazılışlarına bakalım (bir yerden sonra tekrarlayan 1'leri
> olmasın). Birbirinden farklı oldukları haneye kadar gidelim. Sonra
> x'ten büyük olmaya dikkat edecek şekilde 1'ler ekleyelim. Taa ki ifade
> yeterince düşene kadar, sonra ifadenin yükselmesi için bir sürü 0
> ekleyelim sonra 1 sonra 0 öyle ki bunun bir limiti olmasın. (Kendinden
> önceki eleman sayısı kadar 1 koymak ve kendinden önceki eleman
> sayısının 2 katı kadar 0 koymak değeri 1/4 ile 1/2 arasında gezindirir
> durur.
> Yani bu dizinin bir limiti yoktur. Dolayısıyla alakalı sayı x ile y
> arasındadır ve B kümesindedir.)
>
> Aynı şekilde B kümesinden iki sayının arasında olduğumuzdan emin
> olduktan sonra sırf 0 ile devam ederek A kümesinden bir sayıya
> ulaşırız.
>
>
> 2005/9/25, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> > Çözümün çok ilginç, teşekkür ederim.
> >
> > 2005/9/25, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> > > A(x) = {a elemanıdır [0,1] : a = x + q ve q bir rasyonel sayı.}
> > >
> > >
> > > B kümesi de her x gerçel sayısı için A(x) kümelerinin kümesi olsun.
> > >
> > > Bu durumda B, [0,1] aralıığının bir parçalanışıdır:
> > > 1) x,y elemanıdır B olsunlar (x eşit değildir y)
> > > Bu durumda eğer x ile y'nin ortak bir elemanı olursa, bütün elemanları
> > > aynı olur. Yani B'nin elemanları ayrık kümelerdir.
> > > 2) B'nin birleşimi [0,1] aralığıdır çünkü en azından her x elemanıdır
> > > [0,1] için x elemanıdır A(x)
> > >
> > > Ayrıca B'nin her elemanının [0,1] aralığındaki rasyonel sayılar kadar
> > > elemanı vardır. Dolayısıyla B kümesi istenen her koşulu sağlar.
> > >
> > >
> > > 2005/9/25, erkan karakaya <hattusas388 at gmail.com>:
> > > > peki şuna ne dersin
> > > > "[0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her biri sonsuz elemanli
> > > > olan bir partisyonu var mıdır?" sorusunda, sözkonusu alt kumelerin her
> > > > birinin buyuklugunu, dogal sayilar kumesinin buyuklugu ile sınırlandirirsak
> > > > sorunun yaniti ne olur?
> > > >
> > > >
> > > > 25.09.2005 tarihinde erkan karakaya <hattusas388 at gmail.com> yazmış:
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Sanırım
> > > > >
> > > > >
> > > > > A=[0,1/2) araligindaki rasyonaller ile [1/2,1] araligindaki irrasyonaller
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > B=[0,1/2) araligindaki irrasyonaller ile [1/2,1] araligindaki rasyonaller
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > kümeleri oluyorNe dersin
> > > > >
> > > > >
> > > > > 25.09.2005 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com > yazmış:
> > > > >
> > > > > > O değil de [0,1] aralığını her iki küme de [0,1] elemanı ile aynı
> > > > > > büyüklüğe sahip olacak şekilde ve iki parça da aralarında yoğun olacak
> > > > > > şekilde iki parçaya ayırabilir misiniz.
> > > > > > Yani: A ve B iki küme olacak ve
> > > > > > 1) A U B = [0,1]
> > > > > > 2) |A| = |B| = | [0,1] |
> > > > > > 3) her x,y elemanıdır A için x ve y'nin arasında bir z elemanıdır B
> > > > > > vardır. (x < z < y veya y < z < x)
> > > > > >
> > > > > > 2005/9/25, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> > > > > > > n=1'den başlayarak şu kümeler
> > > > > > > (1/(n+1),1/n] gerekli parçalanışı verir.
> > > > > > >
> > > > > > > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>:
> > > > > > > > [0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her biri sonsuz
> > > > elemanlı
> > > > > > > > olan bir partisyonu var mıdır?
> > > > > > > >
> > > > > > > > Soru'nun matematiksel ifadesi ekte...
> > > > > > > > _______________________________________________
> > > > > > > > MD-sorular mailing list
> > > > > > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > > > > >
> > > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > --
> > > > > > > E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > --
> > > > > > E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > _______________________________________________
> > > > MD-sorular mailing list
> > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > --
> > > E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
> > >
> >
> >
> > --
> > E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
> >
>
>
> --
> E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)
>


--
E.M.K. (Engizisyon Mahkemesi Kaçağı)