[MD-sorular] norm metrik topoloji

[E. Mehmet Kıral]

Bir normlu vektör uzayımız varsa o uzay üzerinde aynı zamanda bir
metriğimiz de vardır. ||  || bir norm olsun o zaman v ve w adlı iki
vektör arasındaki mesafe ||v - w|| olarak tanımlanabilir. Bu bir
metrik fonksiyonunun sağladığı özellikleri sağlar ve || || normundan
gelen metriktir.

Sonra bir metriğimiz varsa açık kümeler tanımlanabilir. Şöyle ki:
İçindeki her x elemanı için elemanın etrafında ve tamamen kümenin
içinde bir açık top bulunabiliyorsa (açık topu d(y,x) < E
eşitsizliğini sağlayan y'ler olarak düşünebiliriz) o zaman kümemiz
açıktır deriz. Bu da bir topolojinin açık kümelerinin olması gereken
kurallarını taşır.

Aslında bir iç çarpımdan da (yani pozitif, bilineer simetrik bir form)
norm tanımlanabilir. ||x|| = kök<x,x> olarak. Bu da normun
özelliklerini sağlar.

Biliyorum hiçbir şey söylemedim ama bunun sebebi, bu tip şeylerin
tanımlarının veya belki kanıtlarının da (ama tanımdan sonra kanıt
kendiliğinden geliveriyor zaten) google'da hemen bulunabilmesi.
Tekrarlamak istemedim.

Daha ilginç olan, ya da bana daha ilginç gelen, bir soru ise bu
geçişlerin tersleri. Yani ne zaman bir metrik uzayı bir normdan
geliyor. Ya da ne zaman bir topoloji bir metrikten doğuyor.

Norm için cevabı biliyorum. Yani bir iç çarpımdan gelen normlar tam
olarak paralelkenar eşitliğini sağlayan normlardır.
Paralelkenar eşitliği her iki v ve w vektörü için:
||v+w||^2 + ||v-w||^2 = 2(||v||^2 + ||w||^2) eşitliğidir.

Bu eşitliğin sağlandığı normlar bir iç çarpımdan doğan normlardır.
Bunun kanıtını 1935 yılının annals of mathematics'inde bulabilirsiniz.
Kanıtı John von Neumann yapmış. (kanıt oldukça basit, bu kadar basit
bir olgunun bu kadar yakın zamanda kanıtlanması çok ilginç. Bunun
ilginçliğini kime söylesem bana "bu kavramların bu şekilde ifade
edilmesinin çok yeni olduğunu" bahane gösterdiler.)

Kanıt aslında bir tek toplamsallıkta sorun çıkarıyordu sanırım. (Başka
hiçbir kaynakta çözümü bulamadım, her yer çok kolay diye diye egzersiz
olarak vermişti soruyu, haklılarmış ama çözümü gördükten sonra onlara
katılabiliyorum ancak.)

Ne zaman topolojiler metriklerden gelir ya da ne zaman metrikler
normlu uzaylardan gelir bilmiyorum.

Gerçi eğer metrik arşimetyen bir metrik değilse, yani bir ultrametrik
ise, yani eğer üçgen eşitsizliğinden daha da katı bir koşul olan iki
toplamın maksimumundan küçük olma koşulu eklenmişse metriğe, o zaman
bir normdan geliyor olamaz. Bunu bir vektör uzayında iki noktanın
arasındaki doğru parçasını düşünürseniz görebilirsiniz. İki vektörün
arasında bir başka vektör alın, ultra metrik olamayacaktır. Gerçi
bunun yeterli bir koşul olduğunu sanmıyorum.

Bir bilen varsa söylesin, bizi aydınlatsın lütfen. Topoloji hakkında
da keza aynı şekilde.

Bu arada eğer vektör uzayımızın cismi sonlu uzaysa o kadar emin
konuşamayacağım. Şimdi içime bir şüphe düştü. Belki sonlu cisimli
üzerindeki bir vektör uzayının normundan doğan metrik ultrametrik
olabiliyordur.

Şimdi fark ettim ki ben reel ya da kompleks bir vektör uzayı dışında
iki nokta arasındaki doğru parçasını nasıl tanımlayacağımı bilmiyorum.
Bu konuda da yardımınız dokunacaksa, esirgemeyin lütfen.

2006/4/20, yildirim akbal <hamsiblues at gmail.com>:
>
> merhaba
>
> bir v vektor uzayı olsun bu vektor uzayı,
> uzerınde attık tuttuk bir norm tanımladık,
> norm varsa metrık vardır metrık varsa topoloji tanımlanır uzay uzerınde
> dogrumudur
>
> kume uzerınde attık tuttuk metrık tanımladık metrık varsa topoloji varmıdır
> zannedersem oluyordu acıklama olursa cok sevınırım
>  sevgıler saygılar
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


--
sorunsuz gençlik