Re: [MD-sorular] Gerek ve yeterkoşul teoremleri ve kümeler

28 Nis 2006 Cum 16:53:40 EEST

Konuyu açan beyefendi, en son düzeltmesinde A, B, C ve D harflerinin
"elemanları önermeler yardımıyla tanımlanan KÜMELER"i temsil ettiğini
belirtmiş.

İki küme arasında M=>N (M kümesi ise N kümesi) diye birşey
söyleyemeyiz. Çünkü M ve N önerme değiller ki! M ve N'in önermelerin kümesi,
ya da soruyu soranın son düzeltmesine göre-önermeler yardımıyla tanımlanan
kümeler- olmaları bile durumu kurtarmaz! M=>N ile "N, M'nin altkümesidir"
gerektirmesi kastediliyorsa, bu belirtilmeliydi.

Ali Nesin Hoca'nın uyarısını yapacaktım fakat mesajları bir süre daha takip
etmek istedim. Ne zaman müdahale edilecek diye bekliyordum. Üstadın dediğine
bir ilave yapmak istiyorum:
B ve C'nin küme oldukları belirtildiği için B=C ifadesi doğru, fakat bazı
yerlerde önermeler mantığı girdiği için B=C ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla
bu paradoksu gidermek için soruyu önerme sorusundan küme sorusuna
indirgemeyi uygun gördüm: soruyu yeniden eksiksiz yazmaya çalışarak şöyle
toplarlamak istiyorum:

A, B, C ve D elemanları önermeler yardımıyla tanımlanan kümeler olsunlar.

Soru1:

1.1 AUB=D olsun.
1.2 AUC=D olsun.

1.a A=D olmak zorunda mıdır?
1.b B=C olmak zorunda mıdır?

Soru2:

2.1 D altkümesidir AUB olsun.
2.2 D altkümesidir AUC olsun.

2.a Her zaman, "D altkümesidir A" mıdır?
2.b Her zaman, "B altkümesidir C veya C altkümesidir B" midir?

Yani artık A, B, C ve D'nin önermeler yardımıyla tanımlanan kümeler olup
olmadığının bir önemi yoktur. A, B, C ve D'nin küme olma özelliği soruyu
yanıtlamak için yeterlidir. Dolayısıyla soru, basit bir küme sorusudur.

Bu arada, Ayşe Hanım'ın verdiği örnek sorunun birinci kısmı uygun değil
çünkü:
AUB={1,2,3}, D={2} Halbuki soruda AUB=D deniyor (denmek isteniyor.)
Aynı şekilde AUC={1,2,4}, D={2} Halbuki soruda AUC=D deniyor (denmek
isteniyor.)
Fakat Ayşe hanımın örneği, sorunun 2. kısmına bir counter-example olduğu
için, sorunun 2. kısmını yanıtlar. Yani D={2} altkümesidir AUB={1,2,3},
D={2} altkümesidir AUC={1,2,4} olduğu halde {2} ! ={1,2,3} . Bu
yüzden, 2.asorusunun yanıtı hayırdır. Yani, her zaman D=A doğru olmaz.
2.b'nin yanıtı da hayırdır. Yani "B={2,3} altkümesi değildir C={2,4} ya da
B={2,4} altkümesi değildir C={2,3}" dir. Demek ki "Her zaman, "B
altkümesidir C veya C altkümesidir B" midir?" önermesi yanlıştır.

Başka örneklerin olup olmayacağından bahsedilmiş. Sayılamayacak çoklukta
karşıt örnek bulunabilir. Hatta hangi tür kümelerin soruya karşıt örnek
olabileceği rahatça yorumlanabilir.

Saygılarımla,
Ali

28.04.2006 tarihinde ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> yazmış:
>
>
> Yazilanlari pek takip edemedim ama onermeler mantiginda esitligin anlami
> yoktur nerdeyse. Esitlik yerine, "ancak ve ancak" (yani yeter ve gerek)
> kullanilmasi gerekir.
> Ali
>
> -----Original Message-----
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Mustafa
> Kosem
> Sent: Friday, April 28, 2006 8:03 AM
> To: md-sorular at matematikdunyasi.org
> Subject: Re: [MD-sorular] Gerek ve yeterkoşul teoremleri ve kümeler
>
> Mehmet Bey,
>
> Bu çok güzel bir örnek oldu. Bu örnekten hareketle soru 1 ve 2'yi biraz
> geliştireceğim.
>
> Soru 1)
> A ve B gerek yeter D
> A ve C gerek yeter D olsun.
> Bu durumda aşağıdakilerden en az biri doğrudur. (Bu doğru bir önerme
> midir?)
> a) A gerek ve yeter D
> b) B=C
>
> Soru 2)
> A ve B yeter D
> A ve C yeter D
> Bu durumda aşağıdakilerden en az biri doğrudur.(Bu doğru bir önerme
> midir?)
> a) A yeter D
> b) "B kapsar C" ya da "C kapsar B"
>
> Saygılarımla,
>
> Mustafa Kösem
>
> ---------- Original Message -----------
> From: "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com>
> To: "Mustafa Kosem" <mkosem at ehb.itu.edu.tr>, "Matematik Dünyası" <md-
> sorular at matematikdunyasi.org>
> Sent: Thu, 27 Apr 2006 20:55:41 +0300
> Subject: Re: [MD-sorular] Gerek ve yeter koşul teoremleri ve kümeler
>
> > A: {x_n} dizisinin bir limiti vardır.
> > B: {x_n} dizisinin bir lim sup'u vardır.
> > C: {x_n} dizisinin bir limi inf'i vardır.
> > D: lim sup xn = lim inf xn
> >
> > Bir dizinin ne lim sup'u olması lim infi olmasını gerektirir, ne de
> > tam tersi. Dolayısıyla iki önerme (B ve C) birbirlerini gerektirmek
> > zorunda değiller.
> >
> > Not: Burada A önermesi B, C ve D'yi gerektiriyor. Böyle olmayan bir
> > örnek daha hoşunuza giderdi muhtemelen. Benim de.
> >
> > 2006/4/27, Mustafa Kosem <mkosem at ehb.itu.edu.tr>:
> > > Sizden yaptığım düzeltme çerçevesinde soruyu yeniden değerlendirmenizi
> rica
> > > edeceğim. Sayılar için cevap kolay olsa da gerek ve yeter koşul
> teoremler
> > > için örnek önermeler bulmak pek kolay değil.
> > >
> > > Mustafa Kösem
> > >
> > > ---------- Original Message -----------
> > > From: <ayseu at gazi.edu.tr>
> > > To: "Mustafa Kosem" <mkosem at ehb.itu.edu.tr>, <MD-
> > > sorular at matematikdunyasi.org>
> > > Sent: Thu, 27 Apr 2006 10:26:32 -0000
> > > Subject: Re: [MD-sorular] Gerek ve yeter koş    ul teoremleri ve k
> ümeler
> > >
> > > > aslında sorunun cevabını vermişsin...A={1,2} B={2,3} C={2,4} D={2}
> > > > alabilirsin mesela...iyi çalışmalar
> > > > ayse uyar
> > > >
> > > > Mustafa Kosem <mkosem at ehb.itu.edu.tr> dedi:
> > > >
> > > > > 2 şekil iliştirecektim maile. Biraz önce unutmuşum, şimdi
> ekliyorum.
> > > > >
> > > > > Mustafa Kösem
> > > > >
> > > > > ---------- Forwarded Message -----------
> > > > > From: "Mustafa Kosem" <mkosem at ehb.itu.edu.tr>
> > > > > To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > > Sent: Wed, 26 Apr 2006 23:51:20 +0300
> > > > > Subject: Gerek ve yeter koşul teoremleri ve kümeler
> > > > >
> > > > > Merhabalar,
> > > > >
> > > > > Soru 1)
> > > > > A ve B gerek yeter D
> > > > > A ve C gerek yeter D olsun.
> > > > > Bu durumda B=C midir?
> > > > >
> > > > > Soru 2)
> > > > > A ve B yeter D
> > > > > A ve C yeter D
> > > > > Bu durumda "B kapsar C" ya da "C kapsar B" midir?
> > > > >
> > > > > Eğer Venn diyagramında klasik daire gösteriminden vazgeçersem bu
> her
>
> iki
> > > > > soruya da olumsuz yanıt verebiliyorum. Bunu yapmaya hakkım var mı?
> > > > >
> > > > > Mustafa Kösem
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > > > --
> > > ------- End of Original Message -------
> > >
> > >
> > > _______________________________________________
> > > MD-sorular mailing list
> > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > >
> >
> > --
> > sorunsuz gençlik
> ------- End of Original Message -------
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>

--
www.antoloji.com/ali_ilik

"A writer is not so much someone who has something to say as he is someone
who has
found a process that will bring about new things he would not have thought
of if he had not
started to say them." William Stafford, A Way of Writing.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060428/614a6442/attachment.htm 