[MD-sorular] Basamak dagilim sorusu

[istanbul]

Soruyu cevabından birkac yil gec sormusum galiba...

Yaziya bir iki kısa not eklemek istiyorum : 
Duydugum ilk andan beri ben cok etkileyen bu "kanun" un adi Benford kanunu.

Sorunun cevabı :  %30.1  ihtimal ile 1 ile basliyor.

Bu kanun ile ilgili bana cok carpici gelen noktalar ise : 

1- Ortaya ile olarak Newcomb 18xx de logartima defterinin on sayfalarinin
daha eski ve kullanilmis oldugunu gorerek cikarmis.

2- Benford bunu gozlemleyip olasilik tablosunu cikarmis. Tam ifadesi ile
sayinin ilk basamaginin [1,t) araliginda olma ihtimali log(t). Yani bizim
sorunun cevabı log(2) .  Bu sayinin 1 ya da 2 ile baslama olasiligi ise
log(3) yani nerdeyse %50 !!

3- Belki en carpicisi: Eger bir olasilik olcusu olcek-bagimsiz ise gerek ve
yeter kosul benford kuralina uymasidir.  Yada soyle soyleyelim:  Eger
benford kanununu gozlemliyorsak bu durumda olcek bagimsizliginida
gozlemleriz. Tersi de gecerli. Yani bizim buyuklukleri aldik 2 ile carptik.
Bu durumda eskiden 1 ile baslayanlar artik 2,3 ya da 4 ile baslayacak. Yeni
bir orneklem aldik ve yine benford kanununa uyacaktir.  Bu 1995 te
ispatlanmis. Yani dogamiz daki buyukluklerin 'ilk basamak dagilimlari' olcek
bagimsizdir demek, benford kanununa uyar demek ile ayni sey.

4- Dogadaki  buyukluklerden bir cogu bu kurala uyar. İlginc ki bizim
"normal" dagilim dedigimiz dagilim ise bu kurala uymaz. Fakat cesitli ve
farkli bagimsiz dagilimlardan alinan sayilar kurala uyar. Ornegin piyango
sayilari, herhangi bir normal dagilim, ve atom agirlik tablosu kendi
baslarina uymazlar ama bunlarin hepsinin birlesimi bu kurala uyar.

5-  ilk ispat hill (1996)  diye geciyor. Fenomenin nesi ispatlanacak
anlamadim ama 4 numaranin ispati galiba... 

6- ispatlanmasina  ragmen hala bir kanun yani gozlemlenebilen bir fenomen.
yeryuzundeki buyuklukler bu kurala uyuyor. Uymayabilirdi cok garip ki bir
cogu uyuyor.  

7- Ali beyin yazisinda belirttigi gibi biz insanlar rastgele sayi
secemiyoruz. Soyle bir sonuc hatirliyorum insanlarin rastgele kafadan
sectikleri sayilar 4,5,6 ile baslama egiliminde.  Bu kanunun uygulama
alanlari da cok etkileyici. Ornegin vergi dairelerindeki beyanlardan hileli
olanlarin belirlenmesinde kullaniliyormus kaliforniyada. Bilgisayar alaninda
da kullanim onerileri var. Bir kac yerde daha kullaniliyor. Detaylar
:http://gtresearchnews.gatech.edu/reshor/rh-f00/math.html
http://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html   ve
http://en.wikipedia.org/wiki/Benford's_law

8- Hard diskteki dosya buyuklukleride bu kurala uyuyor.  bunlari onluk
yerine hexadecimal denemis ve benzer dagilimlari gormustum. Bu da Hill
tarafindan bir ara ispatlanmis. Yani bu kanunun baz bagimsiz oldugu..

Sonuc :Eger bir sayida hile yapiyorsaniz ve dogal gorunmesini istiyorsaniz 1
ile baslayin. 




________________________________

From: ali nesin [mailto:anesin at bilgi.edu.tr] 
Sent: 02 Ağustos 2006 Çarşamba 23:29
To: 'istanbul'; 'Matematik Dünyası'
Subject: RE: [MD-sorular] Basamak dagilim sorusu



 

Matematik ve Sonsuz'daki Sayilar Biri Sever yazima bakabilirsiniz.

Ayni yazi http://www.alinesin.org/popular_math/S_6_sayilar_biri_sever.doc
adresinde de var.

Ali

 

________________________________

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of istanbul
Sent: Wednesday, August 02, 2006 11:11 PM
To: 'Matematik Dünyası'
Subject: [MD-sorular] Basamak dagilim sorusu

 

Yarı mat. sorusu diyebiliriz.

 

dunyadan bir buyuklugun orneklemini toplayalim. 

Bu orneklemdeki sayilarin 1 ile baslama olasiligi nedir.  (herhangi bir sayi
tabaninda olabilir.) 

 

Ornegin buyukluk sunlardan biri olabilir: 

- dunyadaki nehirlerin uzunluklari 

- hisse senedi fiyatlari

- hard diskinizdeki dosyalarin buyuklukleri (denemesi kolay sunu yazip
excele atin :    dir \ /s > all.txt )

- elektrik fatura tutarlari

- yilsonunda vergi iadesi formundaki vergi buyuklukleri

.... vb.

 

Not: bu buyuklukler fiziksel dunyadan alinma olmali yani "dogal" olmali.  

 

Soru soyle de ifade edilebilir :  dunyadaki buyukluklerin nasil bir duzeni
var ?

 

 


--
No virus found in this outgoing message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.5/405 - Release Date: 01/08/2006



--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.5/405 - Release Date: 01/08/2006



-- 
No virus found in this outgoing message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.5/406 - Release Date: 02/08/2006