[MD-sorular] Toplamayla ilgili neleri bilmiyoruz?

[OktayD]

Belki konuyu değiştirebilir ama benim aklıma bir şey takıldı:
biraz hikaye anlatayım ilk önce...

Elimizde doğal sayıların toplaması var. Ve bu toplamayla tanımlanabilen bir
çarpma işlemi. Şimdi biz bu doğal sayıları tamsayılara genişletiyoruz. Bunu
diyelim doğal sayılar üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlayarak yapalım
(bir çok cebir/soyut cebir kitabında yapıldığı gibi, örneğin Jacobson'ın
Abstract Algebra'sı).
(a,b)~(c,d) <=> a+c=b+d
burada (a,b),(c,d) in NxN. Bunun bir denklik bağıntısı olduğunu
görebilirsiniz.
O halde bir tamsayı [a,b] denilen denklik sınıflarının her biridir. Kümenin
adı Z.
Şimdi asıl yere gelelim: toplamayı tanımlayalım.
[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]
Bu tanımdan [n,n] 'nin "sıfır" olduğunu görebiliriz. Hatta x=[a,b] ise
-x=[b,a] olduğunu da. [a,b] aslında bizim bildiğimiz anlamda "a-b" ye
eşdeğer. Görülüyor ki bu toplama doğal sayıların toplamasının üzerine
tanımlanmış durumda! Bunu aklımızda tutalım.

Rasyonel sayıları da buna benzer yöntemlerle (cebirsel olarak) inşa etmiş
olalım ve yine toplamayı Z nin toplamasıyla tanımlayalım (canınızı fazla
sıkmak istemiyorum). Q kümesi, toplaması ve çerpmasıyla bir cisim. Her şey
güzel ama Ali Hocam demiş ki:

"Cisimlerde carpmanin ya da toplamanin diger islemi belirlemedigi biraz
deneyle seziliyor.
...
Ote yandan cisimlerde rastlanan bu iki islemin birbirinden bagimsizligi bir
bicimde sayilara da yansiyor olmali."

Peki deminki yapılan şeyde sorun ne? N deki çarpmanın toplamaya bağlılığını
biliyoruz. Kümeyi genişlettiğimizde de oradaki toplama temelde bir önceki
kümedeki toplamadır. O halde çarpma da temelde öyle olmalı. Zaten, örneğin
tamsayıları yukarıdaki yolla şu şekilde çarparız:
[a,b]*[c,d]=[ac+bd, ad+bc]
(Bu size bir şeyi çağrıştırdı mı? Evet, kesinlikle doğru tahmin: karmaşık
sayılardaki çarpmaya benziyor, sadece arada eksi işareti yok.) Bu da önceki
kümedeki toplama ve (onla tanımlı) çarpmaya dayalı..

Heralde ne demek istediğimi anlatabildim. Aslında sadece bir işlem var:
toplama. Hatta onu da geçin, "ardılı olma" işlemi! Peki neden bunları ayrı
tutuyoruz? Yoksa buna rağmen hala ayrılar mı da ben mi görmüyorum,
bilmiyorum?

(aslında henüz halkalara ve cisimlere tam girmediğim için böyle sorular
sormam hata, ama idare edin)

On 12/8/06, Ali ilik <aliilik at gmail.com> wrote:
>
> "Dogal sayilarda bu boyle degil tabii. Carpma toplamayla tanimlanabilir."
>
> O halde,  her asal sayı bir doğal sayı olduğundan, asalları daha iyi
> anlayabilmek için doğal sayılardaki toplamayı daha iyi anlamamız gerektiği
> sonucunu çıkarabilir miyiz?
>
> Ancak 1 doğal sayı olmasına rağmen, asal değildir.
>
> Yoksa, herşey 1 sayısında mı bitiyor?
>
>
> 08.12.2006 tarihinde ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> yazmış:
> >
> >
> >
> > Bu, daha cok mantiga girer.
> >
> > Cisimler ve halkalar kuraminda toplamayla carpma arasindaki tek iliski
> > dagilma ozellikleridir.
> >
> > Komutatif halkalarda sadece bir tek dagilma ozelligi vardir.
> >
> > Bu da oldukca zayif bir ozellik.
> >
> > Cisimlerde carpmanin ya da toplamanin diger islemi belirlemedigi biraz
> > deneyle seziliyor.
> >
> > Dogal sayilarda bu boyle degil tabii. Carpma toplamayla tanimlanabilir.
> >
> > Ote yandan cisimlerde rastlanan bu iki islemin birbirinden bagimsizligi
> > bir bicimde sayilara da yansiyor olmali.
> >
> > Yalcin'in bu sozu sasirticidir, toplamayla carpmayi bir mantikci kadar
> > flozofca kavradigini gosterir, ki elinde bir mantikcidan cok daha az veri
> > var.
> >
> > Ali
> >
> >
> >  ------------------------------
> >
> > *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org]
> > *On Behalf Of *Ali ilik
> > *Sent:* Thursday, December 07, 2006 2:37 PM
> > * To:* matematik dünyası
> > *Subject:* [MD-sorular] Toplamayla ilgili neleri bilmiyoruz?
> >
> >
> >
> > Cem Yalçın Yıldırım, Twin Prime'la mı Golbach'la mı hatırlamıyorum,
> > sonuçta asallarla ilgili bir keresinde şuna benzer birşey demişti:
> >
> >
> >
> > "Belki de toplamanın ne olduğunu tam olarak bilemiyoruz. Toplamayı daha
> > iyi anladıkça bazı soruları daha iyi yanıtlayabiliriz."
> >
> >
> >
> > Gruplar kuramına mı girer bu? Toplam grupları falan?
> >
> >
> >
> > Toplamayla ilgili neleri bilmediğimizi bilen var mı?
> >
> >
> >
> > Ali
> >
> > --
> > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> >
> > Voltaire: "Je hais vos idées, mais je me ferai tuer pour que vous ayez
> > le droit de les exprimer."
> >
> > Adamlar matematikle halk arasındaki köprüyü kurmak için şöyle bir şey
> > yapmışlar: http://www.msri.org/activities/pastprojects/jir/index.html  Çok
> > çalışmamız lazım, çooook çoook çoookk...
> >
> > İşte bu!: http://www.msri.org/media/photographs/ed_alcock_spring_2003/description.html
> >
> >
> > Soru sormanın yaşı mı olurmuş! : http://www.msri.org/media/photographs/ed_alcock_spring_2003/EA-2003-09.jpg/view
> >
> >
>
>
>
> --
> MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
>
> Voltaire: "Je hais vos idées, mais je me ferai tuer pour que vous ayez le
> droit de les exprimer."
>
> Adamlar matematikle halk arasındaki köprüyü kurmak için şöyle bir şey
> yapmışlar: http://www.msri.org/activities/pastprojects/jir/index.html  Çok
> çalışmamız lazım, çooook çoook çoookk...
>
> İşte bu!:
> http://www.msri.org/media/photographs/ed_alcock_spring_2003/description.html
>
> Soru sormanın yaşı mı olurmuş! :
> http://www.msri.org/media/photographs/ed_alcock_spring_2003/EA-2003-09.jpg/view
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
[O]ktayD [K]endini [T]ekrarlayan [A]çılımlar [Y]azıp [D]uruyor.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061208/22cfa769/attachment.htm