[MD-sorular] Re: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 13, Konu 8

[OktayD]

Merhaba Ahmet Bey, Sayın Selma Barlas ve Sayın Ali İlik güzel açıklamalarda
bulundu. Ben özellikle Ali Bey'in yapmak istediği gibi limit kavramına
anlaşılır örnekler bulmaya çalışacağım. Çeşitlilik arttıkça daha anlaşılır
olacaktır sanıyorum. Ben Fizikçiyim ama matematikle (özellikle soyut
matematikle) çok ilgilenirim. Bu yüzden yanlışlarım için af diliyor ve
düzeltmenizi bekliyorum.

Limiti aslında ilk önce tek boyutta irdeleyip sonra iki boyutta (yani
fonksiyonlarda) görmenizi önerebilirim. Kullandığımız kümenin adı gerçel
sayılar. Biz bunun içinde çalışıyorsak ona göre uzaklık kavramını
kullanıyoruz demektir, nasıl tanımlarsak artık.en iyisi bildiğimiz uzaklık,
iki nokta arasındaki en kısa mesafe. Her zaman bu tanım olmaz. Ama biz
sezgisel olarak bunu kullanıyoruz günlük yaşamda.

(evrenin uzaklık kavramı daha karmaşıktır, Einstein'ın genel görelilik
kuramında uzaklık zamanla ölçülür ve üçgen eşitsizliğinin tersi geçerlidir:
görelilikte A ve B uzunlukları için |A|+|B| uzunluğu |A+B| den her zaman
küçükeşittir, yani bir üçgenin iki kenarının toplamı üçüncü kenardan daha
kısadır, çok ilginç değil mi, evrenin gerçekte böyle bir uzaklığının olması?
Yani bir yere direk gitmektense dolanarak gitmeyi daha karlı bulduğunuzu
varsayın.)

Biz uzaklık diye en kısa olan düz bir çizgiden bahsedeceğiz hep. Yani mutlak
değer işaretiyle gösterilir. Sayı doğrusunu ve tek boyutlu limiti
somutlaştırmaya çalışacağım.

Eviniz var. Şöyle sahil yoluna bakıyor arkanızda da koca bir bulvar var.
Sahille bulvar arasına sıkışmışsınız. Komşularınız var. Ve küçük kardeşiniz
çok yaramaz ve evde durmaktan sıkılıyor. Sürekli dışarda oynamak istiyor.
Arkadaşlarıyla top oynayacak mesela. Bir iki cam kırıp kaçacak. Siz ona
büyük tembihlerde bulunuyorsunuz:
"Bak Hasip (çocuğun adı, hesaplamış olan demek), sakın ama sakın buralardan
ayrılma. Bu civarda oyna. Her an annemler arayabilir, misafirliğe gideceğiz.
Balkondan bağırdığımda beni duyabileceğin bir yerde ol. Bulvarın diğer
tarafına geçersen beni duyamazsın."

Hasip kardeş, el mahkum buralarda oynayacak. Sahille Bulvar arasındaki
sırayla giden boş apartman araları tek şansı. İşte Hasip, arkadaşlarını evin
"komşuluğunda" tutmak zorunda. Eğer biz her apartmana birer numara verirsek,
bizim sayı doğrumuz olurlar. Herhangi bir yeri sıfır yapabiliriz. Örneğin
petrol istasyonunu seçebiliriz. Ardından 1 diye bakkal Vahid Amcanın
dikkanın buluğunduğu apartmanı olsun (vahid, "tek olan" demek). Öyle öyle
gelsin. Bizim ev de atıyorum 3 gibi bir sayı olsun. Hasip, oynayacağı
aralığı seçecek, bu seçtiği aralık abisini duyabileceği bir yer olmalı. İşte
buna komşuluk deniyor.

Hasip, bizim değişkenimiz (her hangi bir yeri oynamak için seçebilir!);
Noktamız ev oldu ve uzaklık denilen şeyi de iyi tanımladık. Böylece tek
boyutta limitimizi tanımlayabiliriz:
evden uzaklığın en azından belli bir sınırda olmasına limit denir. Bu sınır
bu örnekte abisinin sesini duyabileceği uzaklık olarak seçilmişti. Başka bir
şey de olabilir. En az bir tane bulunuyorsa sorun yoktur. Tek boyutta her
zaman böyle bir sınır (limit) bulunabilir!

Şimdi şuna da açıklık getireyim, Hasip evde oynamak zorunda değildir. Yani
biz uzaklığın dışına atabliriz evi. Ev hariç her yerde oynamak istiyor.
Şimdi bunu matematiğe dökelim.
Hasip'e x demiştik.
Ev öyle bir a noktasıydı.
Abinin sesinin ulaşacağı en uzak nokta, ya da başka bir komşuluk da
olabilir, örneğin kardeşini görebileceği en uzak yer gibi. Ne de olsa her
zaman bir tane bulabiliyoruz tek boyutta... Bu da bizim "delta"mız. Delta
bir yunan harfidir. bizim "d" harfinin ilk hali. Sonraları delta evrim
geçirdi ve d ya da D oldu.
Hadi yazalım:
"Evden belli bir uzaklıkta, komşulukta hasip in eve yeterince yakın bir
komşuluğuna Hasip'in eve olan limiti denir"
Yani:
uzaklık: |x-a| ise sınır da "d" olsun.
En az bir d>0 vardır ki |x-a|<d sağlanır. Bunu
lim x=a
olarak yazarız.
Bu tek boyutlu limit idi.

İki boyutlu limite geçelim. Yani fonksiyonda limit. Bu da yukarıdakinin
aynısıdır. Ama küçük farklar vardır ki bunu acayip kullanışlı kılıyor.

Örneğimizi değiştirelim. Siz arabanızla işyerinizin önüne geldiniz ve kapıya
en yakın yere park etmek istiyorsunuz. Ama park etmenin bazı kısıtlamaları
var. Trafik kuralları, başkasının o yeri kapmamış olması gibi. Biz eğer yola
çıktığımız köşeyi sıfır noktası kabul edersek, her park yerine numara
veririz ve tam kapının önündeki park yeri de, atıyorum, 5 sayısına denk
geldi. Mümkünse oraya park etmek istersiniz ama edemeyebilirsiniz.

İşte burada fonksiyonumuz trafik kuralları ve diğer arabaların hareketidir
(zaten trafik kuralları diğer arabalar var olduğu sürece var olurlar!).
Değişkenimiz arabamız oldu ve noktamız işyerinin hemen önündeki park yeri
idi. Siz trafik kurallarına yani fonksiyona kendi konumuzu veriyorsunuz yani
değişkeni, ve kurallar size hangi park yerine denk geldiğinizi söylüyor.
Eğer Seçilmiş fonksiyonunuz yani park halindeki arabaların durumu öyle olmuş
ki caddede ilerledikçe o kaldırım üzerinde park olmadığını görürseniz,
giderek işyerinizden uzaklaşacaksınızdır. Yazalım:
"Her seçilen park halindeki arabaların durumuna karşılık öyle bir uzaklık
düşüyordur ki bir park yeriyle sizin uzaklığınızdan daha büyük böyle bir
uzaklık sağlandığında arabaların ve park edeceğiniz yerin uzaklığı diğer
arabalara uygunsa siz işyerinize olabildiğince  yakın bir yere park
etmişsiniz demektir"
Yani
iki tek boyutlu limit vardır, biri park yeriyle sizin komşuluğunuz
lim x=a
diğeri de diğer arabaların park durumuyla işyerinizin durumudur yani
lim y=L
Fonksiyonun tanımını hatırlarsak, görüntü kümesindeki her y nin bir en az
bir x i ve tanım kümesindeki her x in sadece ve sadece bir y si vardı. O
zaman bu iki limiti birleştirirsek:
her e (yunanca epsilon, e harfinin ilk halidir) için lim y=L iken en az bir
d için lim x=a olur
Artık cümlemizi matematiğe dökebiliriz:
Her e için ve en az bir d için |x-a|<d iken |y-L|<e sağlanıyorsa buna limiti
vardır deriz.
Lim_{x->a} y=L
diye gösterilir. x (araba) a'ya (işyeri önüne) giderken y'nin (arabaların
durumunun) L'ye (işyerine yakın park yerine) olan limiti diye okunur. ;)

Sürekliliğe girebiliriz kısaca. Şimdi bu fonksiyonu ele alalım. Arabaların
durumu öyle seçilmiş olsun ki limitimizdeki L yani arabanın park etmeye
yeteceği yer tam da işyerinin önü olsun. Yani biz her seferinde arabayı park
ettiğimizde işyerine yakınlaşıyoruz. Yan işhanının parklarını işgal etmek
zorunda kalmıyoruz. Çünkü diğer işyerleri kaldırımı "park yapılmaz"
tabelalarıyla doldurmamışlar. İşyerimizin komşuluğunda bu tür levhalar yoksa
biz fonksiyonun sürekli olduğunu söyleriz O kaldırımdaki her park yeri
kullanılabilirdir.
Yani limitimizdeki L, fonksiyonun a noktasındaki değerine eşit.
y=f(x) ise L=f(a).
tanım cümlesinde |y-f(a)|<e değişikliği bize sürekliliğin tanımını
verecektir.

Türeve gelirsek. İlk önce diferansiyel, sonsuz küçük kavramına bir göz
atalım.
biz arabamızla işyerimiz arasındaki uzaklığı kısalttıkça fonksiyon sürekli
olduğu sürece, park yaptığımız yerle işyerimiz arasını da sıfır uzaklığa
yaklaştırırız.
Yani süreklilik tanımından gidersek
|x-a| uzaklığı sıfıra yakınsarsa |y-f(a)| uzaklığı da sıfıra
yakınsayacaktır. Bunlar o kadar yakın olacaklardır ki en sonunda x-a
uzaklığu nerdeyse sonsuz küçüktür deriz. Buna karşılık y-f(a) uzaklığı da
sonsuz kadar küçülür. Kullanım kolaylığı açısından
x-a uzaklığına "Dx" diyelim. y-f(a) uzaklığına da "Dy" diyelim.
bu durumda limit gösterimi olan
lim_{x->a} y=f(a)
için bir düzenleme yapalım. biz x-a uzaklığının 0 a yakınsamasını konu aldık
yani
x-a giderken sıfır ve y-f(a) giderken sıfır.
lim_{(x-a)->0} y-f(a) = 0
oldu. Yani
lim_{Dx->0} Dy = 0

buna biz tek boyutta sonsuz küçük diyeceğiz.
dx = lim x-a = 0
dx = lim Dx = 0
diye gösterilir. Yani dx sonsuz küçüktür.
Aynı şekilde
dy=lim Dy=0

Bu durumda bunların oranı bize türevi ifade eder.
f'(x)=dy/dx = {lim Dy}/{lim Dx}

Bunun anlamı, y fonksiyonunun x e göre türevi, y deki herhangi iki elemanın
farkının x teki herhangi iki elemanın farkına oranı bize fonksiyonun o
noktadaki eğimini veriyordu. Biz bunu olabildiğince komşu iki elemandan
alırsak türev deriz. Yani fonksiyon sürekli olduğu sürece biz her noktadaki
eğimi bulabiliriz.

Umarım açıklayıcı olmuştur, fazlasına da zaman ayırmak zevkli olabilirdi ama
zamanım yoktu bu yüzden burada kesiyorum. Örneklerde görebileceğiniz
tutarsızlıklar için şimdiden özür dilerim.

Kullanım alanlarına gelince. Bu şartları uydurabileceğiniz her yerde limiti
kullanabilirsiniz zaten. Her hareketimizde buna benzer şeyler arayabiliriz
ama gereksiz olur. Kimse bir işe kalkışırken davranışının limitini
hesaplamaz, türevini düşünmez integralini bilmek istemez. Ama mesleklerde bu
gereklidir. Örneğin fizikte analiz çok kullanılır. Deney sonuçlarından bazı
bilgiler elde edilir ve bir kuram oluşturulur bu kuramın söylediklerini
matematiğe dökeriz. Çünkü matematiğin çok güçlü bir ifade ve kesinlik
yeteneği vardır. Bilimin matematikten başka kullanacak bir aracı yoktur.
Çünkü bilim kesin değildir ama onu olabildiğince kesinleştiren matematiktir.
Mesela elektromanyetizma kuramı baştan aşağı diferansiyel denklemlerle
incelenir. Denklemlere bakıldığında düz uzayda belli bir nokta ve değerler
için belli alan ve fonksiyonlar üretir. Herkes dağılmış demirtozuna mıknatıs
tutturulduğunda nasıl çizgiler oluştuğunu gözlemlemiştir. İşte o çizgilerin
nasıl ve nerde ne kadar etkiyle oluşacağını kullanmak için limit
uygulamalarının bir sonucu olan diferansiyeli kullanıyoruz. Ya da
Einstein'ın görelilik kuramında evren sürekli bir yapıya sahip olarak
varsayılır. Bu yüzden denklemlerde çok küçük alan ve uzunluk/süre farkları
için hesap yapılabilir. Bu kuramda evrenin dokusu eğri bir yüzey gibidir ve
sürekli olduğundan yüzeyin nerelerde nasıl eğriliklere sahip olduğu
anlaşılıp ona göre parçacıkların davranışları ve kütleçekim etkisi
öngörülebiliyor. Böylece yıldızları ya da çok hızlı giden parçacıkları
açıklayabiliyoruz. Çok daha fazla örnek var ama şimdilik aklıma gelmiyor. En
basitinden bir eşyayı üretirken ya da arabanızla hızlanıp yavaşlayıp
ilerlerken ne kadar yol gittiğiniz bile bu hesapları gerekir. Varın gerisini
siz düşünün.

Saygı Sevgi ve Mantık...
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060210/4ccb2fd2/attachment.htm