[MD-sorular] Re: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 13, Konu 9

[OktayD]

Düzeltme: Tek boyutlu limit tanımı eksik olmuş. Hatta yanlış diyelim.

"Hasip'in abisinin sesi ne kadar alçak olursa olsun,"
demeliydim. Yani matematiksel açıklamasında da "en az bir delta için" değil
"Herhangi bir delta için" demeliydim. Orayı gözden kaçırmışım. Affola...

Saygı Sevgi ve Mantık...



On 2/11/06, md-sorular-request at matematikdunyasi.org <
md-sorular-request at matematikdunyasi.org> wrote:
>
> Send MD-sorular mailing list submissions to
>        md-sorular at matematikdunyasi.org
>
> To subscribe or unsubscribe via the World Wide Web, visit
>        http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> or, via email, send a message with subject or body 'help' to
>        md-sorular-request at matematikdunyasi.org
>
> You can reach the person managing the list at
>        md-sorular-owner at matematikdunyasi.org
>
> When replying, please edit your Subject line so it is more specific
> than "Re: Contents of MD-sorular digest..."
>
>
> Günün Konuları:
>
>   1. Re: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 13, Konu 8 (OktayD)
>   2. L?M?TE PRAT?K B?R ÖRNEK (bülent aydın)
>
>
>
> ---------- Forwarded message ----------
> From: OktayD <asi.insan at gmail.com>
> To: md-sorular at matematikdunyasi.org
> Date: Fri, 10 Feb 2006 22:30:51 +0200
> Subject: [MD-sorular] Re: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 13, Konu 8
> Merhaba Ahmet Bey, Sayın Selma Barlas ve Sayın Ali İlik güzel
> açıklamalarda bulundu. Ben özellikle Ali Bey'in yapmak istediği gibi limit
> kavramına anlaşılır örnekler bulmaya çalışacağım. Çeşitlilik arttıkça daha
> anlaşılır olacaktır sanıyorum. Ben Fizikçiyim ama matematikle (özellikle
> soyut matematikle) çok ilgilenirim. Bu yüzden yanlışlarım için af diliyor ve
> düzeltmenizi bekliyorum.
>
> Limiti aslında ilk önce tek boyutta irdeleyip sonra iki boyutta (yani
> fonksiyonlarda) görmenizi önerebilirim. Kullandığımız kümenin adı gerçel
> sayılar. Biz bunun içinde çalışıyorsak ona göre uzaklık kavramını
> kullanıyoruz demektir, nasıl tanımlarsak artık.en iyisi bildiğimiz
> uzaklık, iki nokta arasındaki en kısa mesafe. Her zaman bu tanım olmaz. Ama
> biz sezgisel olarak bunu kullanıyoruz günlük yaşamda.
>
> (evrenin uzaklık kavramı daha karmaşıktır, Einstein'ın genel görelilik
> kuramında uzaklık zamanla ölçülür ve üçgen eşitsizliğinin tersi geçerlidir:
> görelilikte A ve B uzunlukları için |A|+|B| uzunluğu |A+B| den her zaman
> küçükeşittir, yani bir üçgenin iki kenarının toplamı üçüncü kenardan daha
> kısadır, çok ilginç değil mi, evrenin gerçekte böyle bir uzaklığının olması?
> Yani bir yere direk gitmektense dolanarak gitmeyi daha karlı bulduğunuzu
> varsayın.)
>
> Biz uzaklık diye en kısa olan düz bir çizgiden bahsedeceğiz hep. Yani
> mutlak değer işaretiyle gösterilir. Sayı doğrusunu ve tek boyutlu limiti
> somutlaştırmaya çalışacağım.
>
> Eviniz var. �öyle sahil yoluna bakıyor arkanızda da koca bir bulvar var.
> Sahille bulvar arasına sıkışmışsınız. Komşularınız var. Ve küçük kardeşiniz
> çok yaramaz ve evde durmaktan sıkılıyor. Sürekli dışarda oynamak istiyor.
> Arkadaşlarıyla top oynayacak mesela. Bir iki cam kırıp kaçacak. Siz ona
> büyük tembihlerde bulunuyorsunuz:
> "Bak Hasip (çocuğun adı, hesaplamış olan demek), sakın ama sakın
> buralardan ayrılma. Bu civarda oyna. Her an annemler arayabilir, misafirliğe
> gideceğiz. Balkondan bağırdığımda beni duyabileceğin bir yerde ol. Bulvarın
> diğer tarafına geçersen beni duyamazsın."
>
> Hasip kardeş, el mahkum buralarda oynayacak. Sahille Bulvar arasındaki
> sırayla giden boş apartman araları tek şansı. İşte Hasip, arkadaşlarını evin
> "komÅŸuluÄŸunda" tutmak zorunda. EÄŸer biz her apartmana birer numara verirsek,
> bizim sayı doğrumuz olurlar. Herhangi bir yeri sıfır yapabiliriz. Örneğin
> petrol istasyonunu seçebiliriz. Ardından 1 diye bakkal Vahid Amcanın
> dikkanın buluğunduğu apartmanı olsun (vahid, "tek olan" demek). Öyle öyle
> gelsin. Bizim ev de atıyorum 3 gibi bir sayı olsun. Hasip, oynayacağı
> aralığı seçecek, bu seçtiği aralık abisini duyabileceği bir yer olmalı. İşte
> buna komÅŸuluk deniyor.
>
> Hasip, bizim değişkenimiz (her hangi bir yeri oynamak için seçebilir!);
> Noktamız ev oldu ve uzaklık denilen şeyi de iyi tanımladık. Böylece tek
> boyutta limitimizi tanımlayabiliriz:
> evden uzaklığın en azından belli bir sınırda olmasına limit denir. Bu
> sınır bu örnekte abisinin sesini duyabileceği uzaklık olarak seçilmişti.
> BaÅŸka bir ÅŸey de olabilir. En az bir tane bulunuyorsa sorun yoktur. Tek
> boyutta her zaman böyle bir sınır (limit) bulunabilir!
>
> �imdi şuna da açıklık getireyim, Hasip evde oynamak zorunda değildir. Yani
> biz uzaklığın dışına atabliriz evi. Ev hariç her yerde oynamak istiyor.
> �imdi bunu matematiğe dökelim.
> Hasip'e x demiÅŸtik.
> Ev öyle bir a noktasıydı.
> Abinin sesinin ulaşacağı en uzak nokta, ya da başka bir komşuluk da
> olabilir, örneğin kardeşini görebileceği en uzak yer gibi. Ne de olsa her
> zaman bir tane bulabiliyoruz tek boyutta... Bu da bizim "delta"mız. Delta
> bir yunan harfidir. bizim "d" harfinin ilk hali. Sonraları delta evrim
> geçirdi ve d ya da D oldu.
> Hadi yazalım:
> "Evden belli bir uzaklıkta, komşulukta hasip in eve yeterince yakın bir
> komÅŸuluÄŸuna Hasip'in eve olan limiti denir"
> Yani:
> uzaklık: |x-a| ise sınır da "d" olsun.
> En az bir d>0 vardır ki |x-a|<d sağlanır. Bunu
> lim x=a
> olarak yazarız.
> Bu tek boyutlu limit idi.
>
> İki boyutlu limite geçelim. Yani fonksiyonda limit. Bu da yukarıdakinin
> aynısıdır. Ama küçük farklar vardır ki bunu acayip kullanışlı kılıyor.
>
> Örneğimizi değiştirelim. Siz arabanızla işyerinizin önüne geldiniz ve
> kapıya en yakın yere park etmek istiyorsunuz. Ama park etmenin bazı
> kısıtlamaları var. Trafik kuralları, başkasının o yeri kapmamış olması gibi.
> Biz eğer yola çıktığımız köşeyi sıfır noktası kabul edersek, her park yerine
> numara veririz ve tam kapının önündeki park yeri de, atıyorum, 5 sayısına
> denk geldi. Mümkünse oraya park etmek istersiniz ama edemeyebilirsiniz.
>
> İşte burada fonksiyonumuz trafik kuralları ve diğer arabaların hareketidir
> (zaten trafik kuralları diğer arabalar var olduğu sürece var olurlar!).
> Değişkenimiz arabamız oldu ve noktamız işyerinin hemen önündeki park yeri
> idi. Siz trafik kurallarına yani fonksiyona kendi konumuzu veriyorsunuz yani
> değişkeni, ve kurallar size hangi park yerine denk geldiğinizi söylüyor.
> Eğer Seçilmiş fonksiyonunuz yani park halindeki arabaların durumu öyle olmuş
> ki caddede ilerledikçe o kaldırım üzerinde park olmadığını görürseniz,
> giderek işyerinizden uzaklaşacaksınızdır. Yazalım:
> "Her seçilen park halindeki arabaların durumuna karşılık öyle bir uzaklık
> düşüyordur ki bir park yeriyle sizin uzaklığınızdan daha büyük böyle bir
> uzaklık sağlandığında arabaların ve park edeceğiniz yerin uzaklığı diğer
> arabalara uygunsa siz işyerinize olabildiğince  yakın bir yere park
> etmiÅŸsiniz demektir"
> Yani
> iki tek boyutlu limit vardır, biri park yeriyle sizin komşuluğunuz
> lim x=a
> diğeri de diğer arabaların park durumuyla işyerinizin durumudur yani
> lim y=L
> Fonksiyonun tanımını hatırlarsak, görüntü kümesindeki her y nin bir en az
> bir x i ve tanım kümesindeki her x in sadece ve sadece bir y si vardı. O
> zaman bu iki limiti birleÅŸtirirsek:
> her e (yunanca epsilon, e harfinin ilk halidir) için lim y=L iken en az
> bir d için lim x=a olur
> Artık cümlemizi matematiğe dökebiliriz:
> Her e için ve en az bir d için |x-a|<d iken |y-L|<e sağlanıyorsa buna
> limiti vardır deriz.
> Lim_{x->a} y=L
> diye gösterilir. x (araba) a'ya (işyeri önüne) giderken y'nin (arabaların
> durumunun) L'ye (işyerine yakın park yerine) olan limiti diye okunur. ;)
>
> Sürekliliğe girebiliriz kısaca. �imdi bu fonksiyonu ele alalım. Arabaların
> durumu öyle seçilmiş olsun ki limitimizdeki L yani arabanın park etmeye
> yeteceği yer tam da işyerinin önü olsun. Yani biz her seferinde arabayı park
> ettiğimizde işyerine yakınlaşıyoruz. Yan işhanının parklarını işgal etmek
> zorunda kalmıyoruz. Çünkü diğer işyerleri kaldırımı "park yapılmaz"
> tabelalarıyla doldurmamışlar. İşyerimizin komşuluğunda bu tür levhalar yoksa
> biz fonksiyonun sürekli olduğunu söyleriz O kaldırımdaki her park yeri
> kullanılabilirdir.
> Yani limitimizdeki L, fonksiyonun a noktasındaki değerine eşit.
> y=f(x) ise L=f(a).
> tanım cümlesinde |y-f(a)|<e değişikliği bize sürekliliğin tanımını
> verecektir.
>
> Türeve gelirsek. İlk önce diferansiyel, sonsuz küçük kavramına bir göz
> atalım.
> biz arabamızla işyerimiz arasındaki uzaklığı kısalttıkça fonksiyon sürekli
> olduğu sürece, park yaptığımız yerle işyerimiz arasını da sıfır uzaklığa
> yaklaştırırız.
> Yani süreklilik tanımından gidersek
> |x-a| uzaklığı sıfıra yakınsarsa |y-f(a)| uzaklığı da sıfıra
> yakınsayacaktır. Bunlar o kadar yakın olacaklardır ki en sonunda x-a
> uzaklığu nerdeyse sonsuz küçüktür deriz. Buna karşılık y-f(a) uzaklığı da
> sonsuz kadar küçülür. Kullanım kolaylığı açısından
> x-a uzaklığına "Dx" diyelim. y-f(a) uzaklığına da "Dy" diyelim.
> bu durumda limit gösterimi olan
> lim_{x->a} y=f(a)
> için bir düzenleme yapalım. biz x-a uzaklığının 0 a yakınsamasını konu
> aldık yani
> x-a giderken sıfır ve y-f(a) giderken sıfır.
> lim_{(x-a)->0} y-f(a) = 0
> oldu. Yani
> lim_{Dx->0} Dy = 0
>
> buna biz tek boyutta sonsuz küçük diyeceğiz.
> dx = lim x-a = 0
> dx = lim Dx = 0
> diye gösterilir. Yani dx sonsuz küçüktür.
> Aynı şekilde
> dy=lim Dy=0
>
> Bu durumda bunların oranı bize türevi ifade eder.
> f'(x)=dy/dx = {lim Dy}/{lim Dx}
>
> Bunun anlamı, y fonksiyonunun x e göre türevi, y deki herhangi iki
> elemanın farkının x teki herhangi iki elemanın farkına oranı bize
> fonksiyonun o noktadaki eÄŸimini veriyordu. Biz bunu olabildiÄŸince komÅŸu iki
> elemandan alırsak türev deriz. Yani fonksiyon sürekli olduğu sürece biz her
> noktadaki eÄŸimi bulabiliriz.
>
> Umarım açıklayıcı olmuştur, fazlasına da zaman ayırmak zevkli olabilirdi
> ama zamanım yoktu bu yüzden burada kesiyorum. Örneklerde görebileceğiniz
> tutarsızlıklar için şimdiden özür dilerim.
>
> Kullanım alanlarına gelince. Bu şartları uydurabileceğiniz her yerde
> limiti kullanabilirsiniz zaten. Her hareketimizde buna benzer ÅŸeyler
> arayabiliriz ama gereksiz olur. Kimse bir işe kalkışırken davranışının
> limitini hesaplamaz, türevini düşünmez integralini bilmek istemez. Ama
> mesleklerde bu gereklidir. Örneğin fizikte analiz çok kullanılır. Deney
> sonuçlarından bazı bilgiler elde edilir ve bir kuram oluşturulur bu kuramın
> söylediklerini matematiğe dökeriz. Çünkü matematiğin çok güçlü bir ifade ve
> kesinlik yeteneği vardır. Bilimin matematikten başka kullanacak bir aracı
> yoktur. Çünkü bilim kesin değildir ama onu olabildiğince kesinleştiren
> matematiktir. Mesela elektromanyetizma kuramı baştan aşağı diferansiyel
> denklemlerle incelenir. Denklemlere bakıldığında düz uzayda belli bir nokta
> ve değerler için belli alan ve fonksiyonlar üretir. Herkes dağılmış
> demirtozuna mıknatıs tutturulduğunda nasıl çizgiler oluştuğunu
> gözlemlemiştir. İşte o çizgilerin nasıl ve nerde ne kadar etkiyle
> oluşacağını kullanmak için limit uygulamalarının bir sonucu olan
> diferansiyeli kullanıyoruz. Ya da Einstein'ın görelilik kuramında evren
> sürekli bir yapıya sahip olarak varsayılır. Bu yüzden denklemlerde çok küçük
> alan ve uzunluk/süre farkları için hesap yapılabilir. Bu kuramda evrenin
> dokusu eğri bir yüzey gibidir ve sürekli olduğundan yüzeyin nerelerde nasıl
> eğriliklere sahip olduğu anlaşılıp ona göre parçacıkların davranışları ve
> kütleçekim etkisi öngörülebiliyor. Böylece yıldızları ya da çok hızlı giden
> parçacıkları açıklayabiliyoruz. Çok daha fazla örnek var ama şimdilik aklıma
> gelmiyor. En basitinden bir eşyayı üretirken ya da arabanızla hızlanıp
> yavaşlayıp ilerlerken ne kadar yol gittiğiniz bile bu hesapları gerekir.
> Varın gerisini siz düşünün.
>
> Saygı Sevgi ve Mantık...
>
>
> ---------- Forwarded message ----------
> From: "bülent" "aydýn" <antalyacatblue at yahoo.com>
> To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
> Date: Fri, 10 Feb 2006 14:33:20 -0800 (PST)
> Subject: [MD-sorular] L�M�TE PRAT�K B�R ÖRNEK
> AHMET BEY; DÜZGÜN BİR ÇOKGENİN KENAR SAYISI SONSUZA DO�RU GİTTİ�İNDE
> ÇOKGEN ÇEMBER HALİNİ ALIR.
> *SEVGÄ°YLE KALIN*.
>
> OP.DR.BÃœLENT AYDIN  GENEL CERRAHÄ° UZM. REYHANLI DEVLET HASTANESÄ°
> REYHANLI/HATAY
>
>
> ------------------------------
> Yahoo! Mail
> Use Photomail<http://pa.yahoo.com/*http://us.rd.yahoo.com/evt=38867/*http://photomail.mail.yahoo.com>to share photos without annoying attachments.
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


--
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanam."
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060212/87328213/attachment.htm