RE: Re: [MD-sorular] Neden en kısa?

Burak Bitlis burak_bitlis at hotmail.com
14 Şub 2006 Sal 00:08:18 EET


Merhaba, kucuk bir duzeltme yapmak istiyorum:
 
AK1B ucgeni eskenar olamaz, cunku ayni sekilde CK2D ucgeni de eskenar olursa bu ucgenler kesisir. 
Sanirim ikizkenar demek istediniz. Gercekten de, eger K1'in, AB'ye paralel bir dogru uzerinde oldugu biliniyorsa, |AK1| + |BK1| 'in en kucuk olmasi icin AK1=BK1 olmasi gerekiyor, turevle ispatlanabilir. 
 
soruda, toplam yolu minimize ettigimizde AK1B ucgeni 30-30-120 ucgeni cikiyor.
 
Burak



> Date: Mon, 13 Feb 2006 00:15:51 +0200> From: luzumi at gmail.com> To: md-sorular at matematikdunyasi.org> Subject: Re: [MD
-sorular] Neden en kısa?> > Elimizde 4 tane nokta var.> > İlk olarak, yolun içinde kavşak olmayan her kısmının doğru parçası> olması gerekiyor. Çünkü iki nokta arasındaki en kısa yol bir doğrudur> ve bu parçanın son iki noktası arasında genel kısalığa katkıda> bulunacak bir şey olmadığından (kavşak mesela) eğer eğri bir bölüm> olsaydı (doğru parçası olmayan anlamında) o eğrinin başından sonuna> bir doğru parçası olarak yolu döşer ve daha kısa bir yol elde ederdik.> > Bu haritada hiçbir döngü olamaz, bir döngü olsaydı döngünün bir> kenarını siler ve daha kısa ve aynı özellikleri sağlayan bir harita> elde ederdik. Demek ki kavşaklar ile şehirleri nokta kabul eden ve> yolları kenar kabul eden çizge bir ağaçmış.> > Noktaların oluşturduğu karenin dışında herhangi bir yol parçası> olamaz, israf. (karenin dışında kalan nokta sayısı üzerine tümevarımla> kanıtlanabilir, ... sanırım)> > Bir şehir iki kavşağa birden bağlanamaz. İki kavşağa bağlandığını> düşünelim. A şehri K1 ve K2 kavşaklarına bağlansın birer yolla. |AK1|> + |AK2| 'den daha kısa bir yol vardır bu üç şehri bağlayan. K1 A K2> açısı 90 dereceden küçük olduğundan (bir önceki paragraf) 120> dereceden de küçüktür. Dolayısıyla K1 A K2 üçgeninin içerisinde A> noktası olmayan bir Fermat Toricelli noktası vardır. Yani |FA| + |FK1|> + |FK2| < |AK1| + |AK2|. AK1 ile AK2 yollarını (yeni bir F kavşağı> ekleyip) FA, FK1 ve FK2 yollarıyla değiştirirsek daha kısa bir yol> elde ederiz. Demek ki bir şehir iki kavşağa bağlanamaz. (En fazla 4> tane kavşak var)> > Bir kavşak sadece bir şehre bağlanamaz. A şehrinin ilgili kavşağının K> olduğunu düşünelim ve K'nin bağlandığı tek şehir A olsun. Demek ki K> A'dan başka sadece bir kavşağa (kavşaklara) bağlı. Eğer sadece bir> kavşağa daha, K1, bağlıysa üçgen eşitsizliğinden K kavşağını ve bağlı> olduğu yolları silip yerine AK1 yolunu döşeyebiliriz, ve daha kısa> olur. Eğer iki kavşağa birden bağlıysa K1,K2, bu durumda bu iki> kavşaktan biri sadece bir şehre hizmet eder (bir önceki paragraftan> dolayı) ve bu yaptığımızı onun üzerine uygulayabiliriz. Eğer K üç> kavşağa birden bağlıysa herhangi biri işimizi görür. Bir önceki> paragraftan dolayı da K daha fazla kavşağa bağlı olamaz.> Buradan en fazla iki kavşağımız olması gerektiğini buluruz. (NİHAYET!)> > Şimdi bu kavşakların düzleme yerleştirilmesine geldi. İki kavşağımız> varmış gibi hareket edelim. Tek kavşağımız olursa o iki kavşak> çakışır.> > Ortak kavşağı olan şehirler köşegenlerdeki köşeler olsun. O zaman iki> kavşağın da çakışması gerektiğini gösterebiliriz (yoksa karenin içinde> kalmak zorunda olduğumuzdan es kaza yeni bir kavşak türeyiverir> (aslında tam olmadı ama göz var izam var, yollar mutlaka kavşak> dışında bir yerde kesişir.)) Türevle ya da başka geometrik yöntemlerle> bu durumda çakışık kavşaklar için en uygun konumun karenin merkezi> olduğu ortaya çıkar.> Bu durumdan daha kısa bir yol bulundu, ve bir sonraki MD sayısında> verildi. Dolayısıyla ortak kavşağı olan şehirler karenin aynı kenarı> üzerindeler.> > A ve B şehirleri K1 ortak kavşağını ve C ile D şehirleri de K2 ortak> kavşağını paylaşsın.> Bundan sonra AB ve CD doğrultularını yatay BD doğrultusunu ise dikey> olarak adlandıracağım.> Şu anda durum A,B ve C,D nokta çifleri için simetrik olduğundan K1 ile> K2 kavşaklarının AB ve CD doğrularından (sırasıyla) aynı uzaklıkta> olduğunu varsayabiliriz. |K1K2| uzunluğunun (bu hareket sahasında) en> kısa hali düşey olduğu durumdur. Ayrıca |AK1| + |BK1| uzunluğu da en> kısa AK1B üçgeni eşkenar olduğunda olur. Demek ki en kısa yol planı> soruda verilene oldukça benziyor. Sadece |K1K2| uzunluğunun ne olduğu> kaldı. Onun da türevle cevapta verilen değer olduğunu bulabiliriz.> > > Uzun oldu ama Allah için güzel oldu.> Eleştirilerinizi, yanlışlarımı bekliyorum. (çok arzu ederseniz övgülerinizi de)> > > 2006/2/12, ali nesin :>>>> Cok guzel bir soru. Yaniti bilmiyorum. MD'de yayinlanan en kisa yol>> degildi, sadece ilk tahminden daha kisa bir yoldu.>>>> Bu tur sorularin matematiksel anlamda kolay oldugunu hic sanmiyorum>> dogrusu.>>>> Ali>>>> -----Original Message----->> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org>> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Emre UNAY>> Sent: 12 Şubat 2006 Pazar 19:31>> To: md-sorular at matematikdunyasi.org>> Subject: [MD-sorular] Neden en kısa?>>>> Herkese iyi günler. Bir soru benim kafamı kurcalıyor. Aynı düzlemde, bir>>>> karenin dört köşesini birleştiren en kısa yol nedir? Yani öyle çizeceğiz>> ki,>> 4 nokta birbirine bağlanmış olacak ve bu çizdiğimiz yol en kısa olacak.>> Bu>> soru eskiden md'de sorulmuştu, bir sonraki sayıda da doğru cevap>> verilmişti,>> ama neden olduğu söylenmemişti. ( Herhangi bir anlatım bozukluğu>> olmasın:>> AB=BC=CD=DA olan, aynı düzlemde, dört şehir olsun. Bu şehirleri>> birleştiren>> en kısa yolu soruyorum. ) Vallahi gözümü korkutuyor bu kadar>> matematikçinin>> içinde, az matematik bilgim ile derdimi anlatmaya çalışmak.>>>> _________________________________________________________________>> Sadece sohbet ile yetinmeyin - eglneceye de doymak için Messenger'i>> tercih>> edin! http://messenger.msn.com/?mkt=tr&DI=3490&XAPID=2584>>>>>>>>>> _______________________________________________>> MD-sorular mailing list>> MD-sorular at matematikdunyasi.org>> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular>>> > > --> sorunsuz gençlik
_________________________________________________________________
Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today it's FREE!
http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060213/2a477dfe/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi