[MD-sorular] ispat sorusu

[E. Mehmet Kıral]

Sadece bir kere kesebilir demem güzel olmadı, sadece bir noktada
kesebilir demem gerekirdi. Ondan sonra söylediğim pozitiflik
negatiflik hususu da türevlenebilir bir h fonksiyonu için f '(c) =
(f(b)- f(a))/(b-a) olan bir c € [a,b] vardır teoreminden
kaynaklanıyor.

Herhangi bir y için g(x) = |sinx - siny| olsun |g'(x)| =<  1
olduğundan f(x) = |x - y| fonksiyonunun altında kaldığını
göstereceğiz.

|x - y| > 2 için g(x) < f(x) olduğu belli. Yani y'den 2 uzağa kadar
ilginç bir şey oluyorsa oluyor.
y < x ise
(f(x) - g(x))' = f ' (x) - g ' (x)  >= 1 - 1 = 0          (*)
x > y ise
(f - g)' = f ' - g' =< -1 + 1 = 0                            (* *)

Dolayısıyla f - g  fonksiyonu 0'ı sadece 1 kere kesebilir. (NOT:
aslında bir süre boyunca hem f'nin hem de g'nin türevleri aynı olmaya
karar verebilir sürekli oldukları halde ama bu durumda g'nin türevinin
hiçbir aralıkta sabit olmadığını biliyoruz). Eğer iki farklı noktada f
- g'nin kökü olsaydı bu, bir y'den büyük bir yerde f - g fonksiyonunun
türevinin negatif olduğu anlamına gelirdi. Ya da y'den küçük bir yerde
pozitif. Oysa bunun olamayacağını gösterdik. (*)(**)

Şimdi hem x = y + 2 hem de x = y - 2 için g(x) < f(x) olduğu için
aradaki aralıkta da g =< f olduğunu çıkarabiliriz.

Yani |sin x - sin y| =< |x - y|.

Bitti.



>
> 2006/7/13, osman şenad <osmansenad at gmail.com>:
> >
> > 1)  Isin x-sin yI=<Ix-yI   ifadesinin doğruluğunu Taylor açılımı kullanarak
> > nasıl doğrulayabilirim?
> >
> > bu konuda yardımcı olan yada yol gösteren arkadaşlara teşekkür ederim
> >
> > saygılarımla..
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
> >
>
>
> --
> İlahi Adalet,
> ömürsün vallahi!
>


-- 
İlahi Adalet,
ömürsün vallahi!