[MD-sorular] Bir kümenin alttoplulukları

[E. Mehmet Kıral]

Birkaç soru(nu)m olacak.

Elimizde bir küme ve bir de küme olup olmadığından emin olmadığımız
bir topluluk olsun. Ancak bu topluluğun bütün elemanları kümenin de
bir elemanı. Yani topluluğumuz kümenin bir alttopluluğu.
Bu alttopluluğun küme olmaması mümkün müdür, mümkünse bir örnek
verilebilir mi, verilebilinirse verebilecek kimse var mı?

Sorum şundan kaynaklanıyor (doğruluğundan tam emin olmadığım yerleri
numaralandıracağım, yanlış bir sonuca ulaşırsam sonunda o noktalarda
hata olması muhtemeldir.)

Bir küme verildiğinde onun bir alttopluluğunun küme olduğunu
tanımlanabilir altküme belitinden çıkarıyoruz. Ya da bu topluluğun
küme olduğunu üstkümeden bağımsız olarak bir şekilde ortaya çıkarmış
da olabiliriz, ancak bundan başka altküme elde etme yolu yok (1).

Özellikler sayılabilir sonsuzluktadır. Dolayısıyla bir kümenin en
fazla sayılabilir altkümesi olabilir. Oysa biz her kümenin
altkümelerinin kümesini alabiliyoruz. Ve doğal sayıların örneğin
sayılamaz tane altkümesi olduğunu da gösterebiliriz. Çelişki nerede.
Acaba bir sürü altkümesi olduğunu biliyoruz da bir tek verili
alttopluluğun küme olup olmadığına mı (burada "verili" sözcüğü kötü
oldu çünkü bir özellikle verilmişse zaten kümedir, başka türlü de
nasıl verilebilir bilmiyorum.) karar veremiyoruz.

Eğer bir kümenin alttopluluğu olan ve küme olmayan bir nesnemiz varsa
bu bir yan ürün değil midir? Çünkü biz bir şey çok büyük olduğunda
küme olmasını istemiyoruz, paradokslar hep büyük kümelerden çıkıyor
(2). Dolayısıyla başka bir kümeden daha küçük bir topluluğun küme
olmaması, aslında istenmeyen ama biraz da kaçınılmaz olan bir yanetki
mi?

Aslında bir de Seçme beliti var bir kümeden altküme elde etme yolu,
ancak ondan, sonlu adımda sadece sonlu adet altküme elde edebiliriz.
Altkümeler kümesine (tek elemanlı kartezyen çarpım) uygularsak eğer bu
beliti, bir altküme elde ederiz. Sonra onu altkümeler kümesinden
çıkarıp tekrar uygulayabiliriz beliti.
Matematiksel inşaalarda sadece sonlu adıma izin olduğundan (3) buradan
da sayılamaz sonsuzlukta altküme gelmez.

Herkese iyi günler.

-- 
İlahi Adalet,
ömürsün vallahi!