[MD-sorular] kume sorunu

[E. Mehmet Kıral]

X bir küme ve P(X) onun altkümelerinin kümesi olsun. X'le P(X)
arasında bir eşleşme olmadığını göstereceğiz. X'ten P(X)'e bariz bir
birebir fonksiyon olduğu için (her x elemanını {x} kümesine götüren)
X'in P(X)'ten daha "küçük" olduğu ortaya çıkacak.
X'ten P(X)'e bir f eşleşmesi olduğunu varsayalım. Şimdi X'in şu
altkümesinii düşünelim. y = {x € X : x elemanı değildir f(x)}. f bir
eşleşme olduğundan y kümesine X'ten giden bir eleman vardır. O elemana
a diyelim. Şimdi a'nın y'nin elemanı olup olmadığına bakalım. Eğer a
elemanıdır y = f(a) ise y'nin tanımı gereği a elemanı değildir f(a) =
y. Ancak a elamanı değildir y = f(a) ise de tanım gereği a elemanı y
kümesinde olmalı. Yani a elemanıdır f(a).
Bu bir çelişkidir ve buradan X ile P(X) arasında bir eşleşme olmadığı
sonucuna ulaşırız.

Bu kanıt tanımlanabilir altküme belitini kullanıyor.
Şimdi doğal sayıların altkümelerinin kümesinin doğal sayıların
kardinalitesinden büyük olduğunu gördük. Demek ki doğal sayıların
altkümelerinin kümesi sayılamaz sonsuzluktaymış.

Benim sorum da işte burada geliyor. Madem biz küme olan altkümleri
sadece tanımlanabilir altküme belitiyle (sayılabilir tane) ve seçme
belitiyle (sonlu adımda sonlu tane) belirleyebiliyoruz. Nasıl oluyor
da sayılamaz tane altkümesi oluyor doğal sayıların.

Bu soru da şu soruyu akla getiriyor: Sadece bir kümenin elemanlarını
içeren ancak küme olmayan bir topluluk olabilir mi? Neyse bunları
geçen mesajda sormuştum zaten.

NOT: Doğal sayıların sayılabilir çoklukta elemanı vardır elbet, ancak
daha fazlası da vardır.


2006/6/27, Faruk Keskin <konu10 at yahoo.com>:
> "ozellikler sayılabilir sonsuzluktadır.
> Dolayısıyla bir kümenin en
> fazla sayılabilir altkümesi olabilir. Oysa biz her
> kümenin
> altkümelerinin kümesini alabiliyoruz. Ve doğal
> sayıların örneğin
> sayılamaz tane altkümesi olduğunu da
> gösterebiliriz. Çelişki
> nerede."
>
> denmiş ancak bildiğim kadarıyla doğal sayıların
> sayılabilir çoklukta altkümesi vardır.. bu konu
> matematik dünyasının son sayısında(ne yazıkki
> 2005 kış) kapak konusunda da incelenmişti..
>
>
>
>
>
>
> _____________________________________________________
> Yahoo! kullaniyor musunuz?
> Simdi, 1GB e-posta saklama alani sunuyor
> http://tr.mail.yahoo.com
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
İlahi Adalet,
ömürsün vallahi!