RE: [MD-sorular] Bir kümenin alttoplulukları

[ali nesin]

Zor konulara giriyorsun...

Once sonlu ne demek onu tanimlaman gerekir.

Eger "sonlu" bir dogal sayiyla arasinda esleme var demekse o zaman eslemenin varligini varsayman toplulugun zaten bir kume olmasi gerektigini soyler, cunku topluluk bir fonksiyonun imgesidir, dolayisiyla toplulugun kume oldugunu kanitlamana ihtiyac yoktur.

Kumeler kuraminda bir seyin sonlu oldugunu soyleyebilmen icin o seyin zaten kume olmasi gerekir. Kume olmayan seyler hakkinda bir sey yazamazsin ki kanitlayasin... Yani teoremi yazmaktan acizsin. Cunku teorem kumeler kuraminin bir tumcesi olmuyor.

Her n dogal sayisi icin degil (yani her n \in N icin degil) ama bizim bildigimiz 0, 1, 2, 3 gibi her "standart" n dogal sayisi icin (aradaki farki algilayabiliyor musun?), eger x_1, ..., x_n birer kumeyse, eleman olarak sadece bu kumeleri iceren bir kumenin varligini aynen senin yaptigin gibi kanitlayabilirsin. Her bir n icin ayri bir kanit verirsin.

"Her n dogal sayisi icin x_1, ..., x_n birer elemansa..." diye baslayan bir tumce yazilamaz kumeler kuraminda.

Bildigim kadariyla... Ben kumeler kuramcisi degilim...

Ali


-----Original Message-----
From: E. Mehmet Kıral [mailto:luzumi at gmail.com] 
Sent: Friday, June 30, 2006 10:27 PM
To: ali nesin
Cc: OktayD; md
Subject: Re: [MD-sorular] Bir kümenin alttoplulukları

Çok teşekkür ederim,
Şimdi bir de şunu soruyorum. Cevabı basit ama evet ya da hayır
(hayırsa biraz uzayabilir).
Sonlu kümelerin her alttopluluğunun bir küme olduğunu kanıtlayacağım.
İki şekilde:

Eğer kümemiz, X diyelim, sonluysa o zaman alttopluluğun da sonlu tane
elemanı olabilir ancak. O zaman bunları x_1,.... x_n diye
adlandırırsak;
A = {x € X : x = x_1 ya da ..... ya da x = x_n} bir kümedir, ve tam
olarak alttopluluğumuzun elemanlarını içerir. Demek ki alttopluluk
aynı zamanda bir kümedir.

Diyelim ki X kümesinin bir alttopluluğu bir küme değil. Ama yine de
sonlu elemanı vardır bu kümenin. (Yoksa üstküme X sonlu elemanlı
olamazdı). Şimdi B = {x € X : x = x_1 ya da ..... ya da x = x_n}  bir
küme olduğundan ve alttopluluğumuzla aynı elemanları içerdiğinden
alttopluluğumuz bir küme olmak zorundadır.  Bir çelişki elde ettik.

Bu iki kanıt birbirinden çok farklı (mıdır?). Çünkü ilki bir kanıt
değil bir kanıt şeması, yani her bir n için ayrı bir kanıt sunuyor.
Oysa ikincisi bir kanıt. Sonlu adımda tüm kümeler için kanıtladık.
Doğru mu dedim?


Bu kanıtları yaparken aklıma bir soru takıldı şimdi. Eşitlik beliti
sadece iki kümenin eşitliğinden bahsediyor. Bir küme ve küme olmayan
bir topluluk olabilir mi tamamen aynı elemanlara sahip?
Ya da sorduğum soru anlamlı mı? Ne de olsa küme olmayan şeylerden
sözedemiyoruz küme teorisi içerisinde (ZFC).


2006/6/30, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
>
>
>
> M_1 kuram degil model. Kumeler kurami = ZFC. Ama kumeler kuraminin bircok
> modeli vardir. Yani kumeler kuraminin aksiyomlarinin gecerli oldugu bircok
> evren vardir.
>
> Ali
>
>
> ________________________________
>
>
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf
> Of OktayD
> Sent: Friday, June 30, 2006 6:34 PM
> To: md
> Subject: Re: [MD-sorular] Bir kümenin alttoplulukları
>
>
>
>
>
>
> Su ornegi vereyim: Dogal sayilar kumesi tum tumevarimsal kumelerin
> kesisimidir. Kumeler kuraminin bir baska modelinde daha fazla tumevarimsal
> kume olabilir. O zaman o modelde dogal sayilar kumesi daha kucuktur. Ve o
> zaman da bu daha kucuk dogal sayilar kumesi, daha az tumevarimsal kumesi
> olan modelde kume olamaz. Tekrar edeyim. M, kumeler kuraminin bir modeli
> olsun. N, M modelindeki dogal sayilar olsun. M_1, M'den daha buyuk bir model
> olsun. Yani M_1 de kumeler kuraminin bir modeli ve ayrica M'yi iceriyor.
> N_1, M_1'de dogal sayilar kumesi olsun. Elbette N_1'in her elemani N'nin de
> bir elemanidir. N_1, N'den daha kucuk olabilir. Bu mumkundur. Forcing ile
> sanirim. Eger oyleyse o zaman N_1, M'de bir kume degildir.
>
>
> Hocam, diyelim biz bu M_1 kuramının bulunması için yeter ve gerek belitleri
> arıyoruz ("diyelim"den öte bir şey, aramaya başladım bile). Örneğin, M
> olarak Zermelo-Fraenkel kısaca ZF  (C yi yani seçim belitini de katabiliriz
> pekala ) kuramını alsak, M_1 bundan daha büyük olması gerektiği için
> (sanıyorum ki) tüm ZF/ZFC belitlerini sağlaması gerekir. Ya da belki
> tersinden bakmak daha kolay olabilir: M_1 diye ZF/Cyi seçersek o zaman M yi
> bulmak için bu 10 belitten hangilerinin kesinlikle çıkarılması ve
> hangilerinin çıkarılmaması gerektiğini görmek sankim daha kolay...
>
>
>
>
>
> Aslında 10 belit çok fazla, ZFC bayağı içli dışı bir kuram gibi (kaldı ki
> omega-tutarlılık (bknz Gödel) taşıması ve bu belitlerin dışında pek
> belirtilmeyen tonlarca çıkarım kuralını da unutmamak lazım!), M_1 için daha
> küçük bir küme kuramından başlamak daha iyi olabilir. Mesela şöyle
> geometrideki Hilbert'in oluşum beliteri (incidence axioms) tadında minik bir
> kuram... Bu iş için ilk 5 belki 6 (sonsuz kümeler bu konu için önemli sanki)
> kuram yeterli gibi göründü bana... (bu türde, uygulamada çok gereksiz
> görünen 2-3 belitli 4 5 noktalı geometrileri çok severim, bu tür fikirleri
> geliştirmek için tam bir deneme tahtası)
>
>
>
> Aklıma şu geldi: Elimizde boşküme belitinin yanlış olduğu (yani "hiç boşküme
> yoktur" olan) bir M kuramı ve boşkümlerin olduğu (belki de diğer her belitin
> sağandığı) bir M_1 kuramı olsun. Bu durumda (?) HER kümenin en az bir
> alttopluluğu M'de küme değildir: o da boşküme! (sanıyorum ki M de boşkümenin
> her kümenin bir altkümesi olduğunun kanıtı "boştopluluk her kümenin
> alttopluluğudur" şeklinde ele alınsa daha iyi)
>
>
>
>
>
> --
>
>
> Saygı Sevgi ve Mantık...
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
İlahi Adalet,
ömürsün vallahi!