[MD-sorular] x=0 da 1. türevi olan ancak 2. türevi olmayan bir fonksiyon (Walter Rudin'in kitabından)

[Ali ilik]

 Soruyla uğraşırken bir kitapta aynı örneğe rastladım. Keşke kitabı biraz
daha geç görseydim de kendim tamamlasaydım işlemleri. Sağlık olsun, bir
dahaki sefere...

Aşağıdaki işlemlerin hemen hemen hepsi Walter Rudin'in *Principles of
Mathematical Analysis* (3. baskı) kitabından (sf: 106) alıntıdır:

(http://img163.imageshack.us/img163/3124/rudinof8.jpg)

Analizle ilgili sağlam bir kitaba benziyor.

f(x) = {x!=0 => xsin(1/x), x=0 => 0 olarak tanımlanırsa,

f'(x)= {x!=0 => sin(1/x) - (1/x)cos(1/x),
x=0 => [ x->0 lim [ f(x)-f(0)]/(x-0) ] = x->0 lim [(
xsin(1/x))/x]=x->0 lim sin(1/x)
ki mevcut değil. f'(0) mevcut olmadığından f''(0) da mevcut değildir.

Ancak,

f(x)'i x farklı sıfır için, (x^2)sin(1/x),
x=0 için x->0 lim f(x) = x->0 lim  [(x^2)sin(1/x)]= x->0 lim
sin(1/x)/(1/(x^2))=0
(Arada kalma teoremi gereği x^2 nin arasında kalır.) olarak tanımlarsak,

f'(x)= 2xsin(1/x) - cos (1/x) (x farklı sıfır için) ve x=0 için

f'(x)=  x->0 lim [ f(x)-f(0)]/(x-0) ]= x->0 lim [(x^2)sin(1/x)]/x=
x->0 lim [xsin(1/x)]
yine sandwich theorem gereği (| xsin(1/x)|<=x) x->0 lim [xsin(1/x)] =0=f'(0)

Sonuç: f'(x), f'in tanım kümesindeki tüm değerler için tanımlı.

f''(x)'e bakarsak,

lim x-> 0 cos(1/x) mevcut olmadığından, f''(x), x=0 için sürekli değil. O
halde f''(0) mevcut değil.

x=!0 ise f''(x)=2(sin(1/x))-(2/x)(cos(1/x))-(sin(1/x))/(x^2) ve mevcut.

Sonuç:

x farklı sıfır için, f(x)=(x^2)sin(1/x),
x=0 için f(x)=x->0 lim [((x^2)sin(1/x))/x]= x->0 lim xsin(1/x)=0 olarak
tanımlanan f için,

f'(0) mevcut fakat f''(0) mevcut değildir.

Neticede bu örnek bayağı iş gördü.

"g nin tanım kümesindeki tüm x ler için, g' tanımlıdır ve g'' tanımlı
değildir" şartını sağlayan bir g içinse, Blancmange'in tanım kümesinde
intregrali veya Weierstrass'ın ölçüsü sıfır olmayan bir küme üzerindeki
integrali iş görür.

P.S: (Konuyla alakası yok) Matematikle ilgili ingilizce, türkçe ve fransızca
bazı dökümanların bulunduğu bir site: http://www.ercangurvit.com/

Ali



31.10.2006 tarihinde ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr > yazmış:
>
>
>
> f(0)'i f(x)'in 0'da limiti olarak tanimla, yani f(0) = 0 olsun.
>
> Bu tabii eger n > 0 ise mumkun.
>
> n = 0 ise f, 0'da tanimsizdir.
>
> Boylece n > 0 ise f gercel sayilarda surekli oluyor.
>
> Simdi turevlenebilirligine bak.
>
> Ali
>
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061102/096d5988/attachment.htm