Re: [MD-sorular] Türeve düzgün yakınsama

[E. Mehmet Kıral]

> (F, [a,b] de ve hem a'nın hem b'nin h komşuluğunda türevlenebilen bir
> fonksiyon olmak kaydıyla (a da sağdan, b de soldan türevli olmayı türevli
> olma kabul edelim.), dF(x,t)/dx=f(x,t) olmak üzere)
>
> (h->0) lim [ (1/h) INT (a'dan b'ye) [ (F'(x+h,t) - F'(x,t) ] dt ]=
>
> (h->0) lim [ (1/h) [ [ (F'(b+h,t) - F'(a+h,t) ] - [F'(b,t) - F'(a,t) ] ] ] =
>
> (h->0) lim [ [(1/h) (F'(b+h,t)- (F'(b,t) ] - [(1/h) (F'(a+h,t)- (F'(a,t) ] ]
> =
>

İntegrali nasıl aldın, t üzerinden entegre ediyoruz. Bir de F'
ifadesinden kastın dF/dx herhalde

>
> "Lütfen "türev oranının türeve düzgün yakınsaması (uniform
> convergence)" demeyin, yani o zaman tabii öyle de, hangi koşullarda
> böyle bir şey geçerli olur."
>
> Neden demeyelim ki?

Çünkü o cevap tabii ki doğru ama ben bu soruyu daha fazlasının doğru
olduğuna inandığım için sordum.


> "NOT: f'nin verili aralıkta sürekli olması yeter mi? Yetmezse neden yetmez?"
>
> Yetmez, çünkü f'(x,t) yoksa sorudaki integralden bahsedemeyiz. Türevli
> olmalı yani, hatta sürekli türetilebilir olmalı [a,b] de ya da türevleri tek
> yanlı olarak tanımlarsak, (a,b) de.
>

sen f'nin türevlenebilirliğini hiç kullanmadan integralden
bahsetmişsin ama. Hem neden bahsedemeyelim.
  f ( x, t) = t         eğer 0<x=<1/2 ise
               2t-1/2  eğer 1/2<x<1 ise

a = 0, b = 1 olsun. Her bir x için f'nin t'ye göre integralinden
bahsedebiliyorum bal gibi de. Bu durumda her h > 0 için [f(x + h,t) -
f(x,t)]/h ifadesinin t'ye göre integralinden de bahsedebilirim. Hatta
h-->0 limitinden bile bahsedebilirim integralin. 0 olur her yerde.
Burada limiti içeri alamıyorum tabii, çünkü x = 1/2 noktasında f
türevlenebilir değil, yani o bahsedilen limit yok. normal bir t için.

Ama doğru f'nin x'e göre türevlenebilir olması lazım türevi içeri
alabilmem için içerideki limitin tanımlı olabilmesi için. (İntegralden
bahsedebilmek için değil ama)
Bir de sürekli türevlenebilir demişsin, göremiyorum bunu. Neden öyle
bir şey gereksin.
Bir karşıörnek verebilir misin?
Peki t'ye göre herhangi bir koşul gerekli midir?


> Bu kısmı biraz daha açar mısın? Ayrıntılı anlatır mısın ?
>

Diyorum ki f_n --> f olduğu durumda f sürekli (ya da düzgün sürekli,
fark etmez) olsa dahi yakınsama düzgün olmak zorunda değil. Bunun
örneğini ilk meyilde vermiştim.
Ama df/dx fonksiyonuna türev oranı ile yakınsıyorsak df/dx'in sürekli
olması yakınsamanın düzgün olmasına yeterli olur mu? Olur sanki...

> Ali
>
> 2006/11/5, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> >
> > Merhaba,
> >
> > Elimde lim (h-->0) İNT a,b    (f(x+h,t) - f(x,t))/h  dt
> > gibi bir limit var.
> > Limiti integralin içine almak istiyorum. Ki böylece bu f'nin x'e göre
> > kısmi türevinin t'ye göre integraline eşittir diyebileyim.
> > Bunu hangi durumlarda yapabilirim, neye ihtiyacım var.
> > Lütfen "türev oranının türeve düzgün yakınsaması (uniform
> > convergence)" demeyin, yani o zaman tabii öyle de, hangi koşullarda
> > böyle bir şey geçerli olur.
> >
> > Hangi koşullarda böyle bir şey olur bilemiyorum.
> > f sürekli türevlenebilir olsun (C^1 yani) dedim, bu durumda
> > G_n(x) = sin^2 nx  eğer x € [0,pi/2n] ise ve G(x) = 0 eğer x €
> > [pi/2n,1 ise] fonksiyonu 0 sabit fonksiyonuna yakınsar ama düzgün
> > yakınsamaz. 0 sabit fonksiyonu ise düzgün sürekli bir fonksiyon yani
> > limit fonksiyonunun düzgün sürekli olmasını kullanamayız.
> >
> > Öte yandan hissediyorum ki türev oranı özel bir fonksiyonlar dizisi
> > (ya da fonksiyonu) veriyor bize. Yani sanki g_h(x) = (f(x+h,t) -
> > f(x,t))/h olarak tanımlanırsa, limit fonksiyonu df/dx'in sürekli
> > olması (ya da düzgün sürekli, nasılsa kapalı bir aralıktayız)
> > yakınsamanın düzgün olmasına yetiyor.
> >
> > Eğer bu dediğimi kanıtlayabilirseniz (türev oranı fonksiyonlarının
> > alelade fonksiyonlardan daha düzgün yakınsadığını) ya da karşı örnek
> > bulabilirseniz (türev oranı fonksiyonunun sürekli df/dx fonksiyonuna
> > abuk sabuk yakınsadığı) ne güzel olur.
> >
> > NOT: f'nin verili aralıkta sürekli olması yeter mi? Yetmezse neden yetmez?
> >
> > --
> > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
> >
>
>
>
> --
> MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> The Universe Within:
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> MIT OpenCourseWare:
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics


-- 
How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
leaves 76 every time.  ~Author Unknown