Re: [MD-sorular] Türeve düzgün yakınsama

[Ali ilik]

"  (h->0) lim [ (1/h) [ [ (F'(b+h,t) - F'(a+h,t) ] - [F'(b,t) - F'(a,t) ] ]
] =

(h->0) lim [ [(1/h) (F'(b+h,t)- (F'(b,t) ] - [(1/h) (F'(a+h,t)- (F'(a,t) ] ]
= " yı düzelterek baştan yazıyorum:

 (h->0) lim [ INT (a'dan b'ye) [ (f(x+h,t) - f(x,t))/h ] dt ] =

(h->0) lim [ (1/h) INT (a'dan b'ye) [ (f(x+h,t) - f(x,t)) ] dt ]=

h->0) lim [ (1/h) INT (a'dan b'ye)  [ (F'(x+h,t)  - [F'(x,t) ] ] =

h->0) lim [ (1/h) [  (alt sınır a, üst sınır b ve farkın integralinden) [
(F(x+h,t)  - [F(x,t) ] ] =

 (   "İntegrali nasıl aldın, t üzerinden entegre ediyoruz."  Evet, orayı da
düzelterek yukarıdaki son satırın eşitini aşağıya yazarak devam ediyorum. )

( "Bir de F' ifadesinden kastın dF/dx herhalde" Evet, x e göre kısmi türevi
kastediyorum.)

= (h->0) lim [ (1/h) [ [ (F(x+h,b) - F(x+h,a) ] - [F(x,b) - F(x,a) ] ] ] =

(h->0) lim [ [(1/h) ( F(x+h,b)- F(x,b) ) ] - [(1/h) ( F(x+h,a)- (F(x,a) ) ]
] = F'(x,b) - F'(x,a)

= f(x,b)- f(x,a) (1) ve,

INT (a'dan b'ye) [ lim (h->0) [ (f(x+h,t) - f(x,t))/h ] ] dt  =
INT (a'dan b'ye) [ f'(x,t)] dt = (sınırlar a ve b) f(x,t) = f(x,b) - f(x,a)
(2)

(1) ve (2)' den

(h->0) lim [ INT (a'dan b'ye) [ (f(x+h,t) - f(x,t))/h ] dt ] =

 INT (a'dan b'ye) [ lim (h->0) [ (f(x+h,t) - f(x,t))/h ] ] dt olur. ( Tabii
tüm bunlar  t E [a,b] için, F'(x,t)=f(x,t) olacak şekilde bir F olması
halinde geçerlidir. )
INT (a'dan b'ye) [ lim (h->0) [ (f(x+h,t) - f(x,t))/h ] ] dt
integrali mevcut olması için f'(x,t)'nin mevcut olması gerekir (yeterdir de,
diye düşünüyorum) [a,b] de çünkü f'(x,t) yoksa, dediğin gibi, integralin
içindeki limit yok demektir. Öbürü için geçerli değildir bu, yine
bahsettiÄŸin gibi, evet.

"sen f'nin türevlenebilirliğini hiç kullanmadan integralden
bahsetmiÅŸsin ama"

Sorudaki 'integralin limiti' için bahsetmek zorunda değiliz, ancak
'limiti içeri alırken' bahsetmek zorundayız ki bahsettim zaten. Bir
fonksiyonun bir kapalı aralıkta türevi olmasa da belirli integrali olabilir,
hatta örneklerle verdiğimiz gibi sürekli bile olmak zorunda değil.
Hemfikiriz orada.

"Bir de sürekli türevlenebilir demişsin, göremiyorum bunu. Neden öyle
bir ÅŸey gereksin."

Haklısın, öyle birşeye gerek yok. f'(x,t) nin sürekli olmasına gerek yok.
Süreklilik integrallenebilmeyi gerektirir ama tersi doğru değildir. Örnek
vermiÅŸsin zaten. Ya da mesela,

f: [0,1] -> {0,3}, f(x)=0 (x <1/2 ise) ve f(x)=3 (x>=1/2) ise. Bu f
fonksiyonu [0,1] de integrallenebilirdir hatta integralin deÄŸeri 3/2 dir.
1/2 de sürekli olmaması (limiti de yok hatta) integrallenemiyor demek
değildir. Ama 1/2 de tanımlı olmazsa integrallenemez. Alan olarak düşünüce
ilginç oluyor. Garfikte kopma olmasına rağmen, alan hala var!

İntegrallenebilme için, [a,b] nin her parçalanışının alt ve üst
toplamlarının sırasıyla inf ve sup'unun eşitliği yeterdir, hatta gerektir de
(ki o değer de sözkonusu belirli integralin değeridir). Gerek ve yeter
şartlı teoremlere tanım gözüyle bakabiliriz. O yüzden kapalı aralıkta
integrallenebilme tanımı gözüyle de bakılabilir aslında bir önceki cümleye.

"Bir karşıörnek verebilir misin?"

Bir karşı örnek yetmez ki burada. "Sürekli değilse integrallenebilir
değildir." demiş oluyorum. Tüm süreksiz fonksiyonların integralinin
olmadığını demiş oluyorum. Bir örnek yetmez. Yanlış dedim "sürekli
türetilebilir-yani türevi süreklidir" derken ki bir tane karşı örnek bularak
yanlış söylediğimi kanıtladın. Doğru söylediğimi (ki doğru demedim,
hatalıydı) kanıtlamam için de bir örnek yetmiyor, malum.

"Peki t'ye göre herhangi bir koşul gerekli midir?" t E [a,b] olmalı ki t ye
göre belirli integralden bahsedebilelim.

Uniform cenvergence olayında ise bilen birileri çıkar yakında ve
yanıtlarlar diye düşünüyorum. O kısmı hakkında bilgim az ve dağınık
olduğundan yazamayacağım. ( En yakın zamanda orayı çalışsam iyi olacak. )

Ancak şöyle yüreğine su serpecek birşeyler buldum nette: (önemli noktaları
alıntılıyorum)

"The concept is important because several properties of the functions *f_n*,
such as continuity <http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function>,
differentiability <http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative> and Riemann
integrability <http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral>, are only
transferred to the limit<http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29>
*f* if the convergence is uniform"

"If *S* is an interval and all the functions *f_n* are
differentiable<http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative>and converge to
a limit
*f*, it is often desirable to differentiate the limit function *f* by taking
the limit of the derivatives of *f_n*. This is however in general not
possible: even if the convergence is uniform, the limit function need not be
differentiable, and even if it is differentiable, the derivative of the
limit function need not be equal to the limit of the derivatives. Consider
for instance *f_n*(*x*) = 1/*n* sin(*nx*) with uniform limit 0, but the
derivatives do not approach 0. The precise statement covering this situation
is as follows:

If *f_n* converges uniformly to *f*, and if all the *f_n* are
differentiable, and if the derivatives *f'_n* converge uniformly to *g*,
then *f* is differentiable and its derivative is *g*. "

"Similarly, one often wants to exchange integrals and limit processes. For
the Riemann integral <http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral>, one
needs to require uniform convergence:
If (*f**n*) is a sequence of Riemann integrable functions which uniformly
converge with limit *f*, then *f* is Riemann integrable and its integral can
be computed as the limit of the integrals of the *f_n*. "

"Much stronger theorems in this respect, which require not much more than
pointwise convergence, can be obtained if one abandons the Riemann integral
and uses the Lebesgue
integral<http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration>instead.
If *S* is a compact <http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space> interval
(or in general a compact topological space), and (*f**n*) is a monotone
increasing <http://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic> sequence (meaning *f_n*(
*x*) ≤ *f**_n+1*(*x*) for all *n* and *x*) of *continuous* functions with a
pointwise limit *f* which is also continuous, then the convergence is
necessarily uniform (Dini's
theorem<http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dini%27s_theorem&action=edit>).
Uniform convergence is also guaranteed if *S* is a compact interval and (*
f_n*) is an equicontinuous
<http://en.wikipedia.org/wiki/Equicontinuity>sequence that converges
pointwise."

Kaynak: http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence

Ali
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061108/eddb05cc/attachment.htm