[MD-sorular] düzeltme_ sureksiz turevler

9 Kas 2006 Per 16:59:31 EET

"f(x): { (x farklı sıfır için) (x^2) sin (1/x), (x=0 için) 0 }
fonksiyonunun, x=0 daki türevi sıfırdır. Hatta türev doğrusu x eksenidir"
ifadesinde "türev doğrusu" değil de teğeti olacak.
Ali

09.11.2006 tarihinde Ali ilik <aliilik at gmail.com> yazmış:
>
> Son zamanlarda düşündüğüm bir soruydu. Dün gece tekrar düşündüm birkaç
> saat masa başında, kağıt kalemle uğraşarak, bazen krizler geçirerek. Bugün
> de sınavımız vardı (Analiz III) ancak sınava çalışmak yerine bu soruyu
> düşündüm. Sınav için gelmedik ya dünyaya...Gerçi günügününe çalıştığımdan
> sınav için ekstra bir çalışma yapmadım. İyi de geçti. Neyse, geyiği
> bırakalım ve soruya geçelim.
>
> Bazı paylaşımlar yapacağım, sorulan sorunun özüne biraz olsun yanıt
> olabileceğini düşünüyorum. Ancak özellikle sorunun geometrik yorumu (f'(a)
> da süreksizse, f ve f' nün grafikleri arasındaki ilişki nedir?) konusunda
> birşeyler var aklımda ama ifade etmem için erken, kafamdakileri derlemem
> lazım. Biraz daha düşüneyim o kısmını. Bir bilen varsa yanıtlar ama siteye
> üniversite öğretim üyelerinden daha çok katılım olsa iyi olur. Bu soru
> sağlam bir soru mesela. Biri bunu hakkıyla yanıtlasa çok güzel olur.
>
> Tam anlamıyla değil ancak bazı noktalara yanıt vermeye çalışacağım.
>
> Bir kere ince bir soru. İncesi de şu: f, a E T_f (f'nin tanım kümesi) de
> türevliyse f, a da süreklidir. Ancak bu demek değildir ki "f'(x) de a da
> süreklidir."
>
> f, a E T_f (f'nin tanım kümesi) de türevliyse f'(a) mevcuttur.
>
> Eğer f'(x) a da tanımlı olmasına rağmen sürekli değilse,  lim (x->a) f(x)
> mevcut değildir.
>
> Çünkü, lim (x->a) f'(x) varsa f'(a) ya eşit olmak zorundadır.
>
> f(x): { (x farklı sıfır için) (x^2) sin (1/x), (x=0 için) 0 }
> fonksiyonunun, x=0 daki türevi sıfırdır. Hatta türev doğrusu x eksenidir (http://math.colgate.edu/math323/dlantz/xsinxinv.gif
> ).
>
> x farklı sıfır için türevi ise 2xsin(1/x)-cos(1/x) dir. Ancak lim (x->0)
> cos(1/x) mevcut olmadığından ( http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cos/visualizations/1.html
>  veya http://mathworld.wolfram.com/Oscillation.html ) f'(x), x=0 da
> sürekli değildir.
>
> Asıl soru şu: "Nasıl olur da 'teğetlerin eğiminin limiti' yokken eğimi
> olan bir teğet olabilir?"
>
> Olur, çünkü nasıl bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o
> noktada aldığı değere eşit olmak zorunda değilse, bir noktada türev
> fonksiyonunun limiti de türevin o noktadaki değerine eşit olmak zorunda
> değildir.
>
> Peki, nasıl olur da bir fonksiyonun türev fonksiyonunun bir noktada limiti
> olmadığı halde, türev fonsiyonu o noktada tanımlı olur?
>
> Şöyle olur: bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin varlığı türev
> fonksiyonunun o noktadaki limitiyle değil, türevinden bahsedilen fonksiyonun
> karakteriyle alakalıdır.
>
> Neyse, 10 dakika sonra dersim başlayacak toplarlıyorum:
>
> http://clem.mscd.edu/~talmanl/PDFs/APCalculus/DiscontDeriv.pdf linkinde L.
> A. Talman adında biri dayanamamış, patlamış ve
>
> "The following example is the standard example of a function with a
> discontinuous derivative, and none of the thoughts below are new or
> original to me. However, questions about this example arise so frequently
> that I present a complete discussion here. Let f be the function given by..."
> diye girişmiş olaya, birşeyler hazırlamış. ancak yeterli değil yanıt için.
> Daha da detaylı, sinsi bir şeyler var bu sorunun özünde.
>
> Online olarak bazı grafikleri çizmek için şu kullanılabilir:
> http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm
>
> P.S: 2006-II ler elimize ulaştı (33 tane). Halledeceğiz. Derginin
> birbirinden güzel olan sayıları arasında kıyaslama yapmak istemezdim ama bu
> en güzeli! Olağanüstü olmuş. Manyak olmuş. Süper olmuş. Feci olmuş.
> İnanılmaz. Akıl alır gibi değil! Nereden buldunuz o kadar vakiti, ya da
> nasıl kullandınız vakit denen olguyu bir söyler misiniz? Önsözdeki resmi
> görünce bir kahkaha patlattım, sevinç kahkahası olarak
> adlandırılabilir. Evet öyle resimlere ihtiyacımız var. Özellikle kravatlı,
> kumaş pantolonlu bürokrasi kokan vesikalık resimlerdense şöyle rahat ve
> özgür resimler ne güzel!
>
>  Ali
>
>
>
> 08.11.2006 tarihinde Emre UNAY <emreunay at hotmail.com > yazmış:
> >
> > Bir fonksiyon dusunelim. a noktasinda turevlenebiliyor. Ama turevi a
> > noktasinda surekli degil. Boyle bir sey mumkun mudur. Tabi ki mumkundur
> > (Google'da discontinuous derivative diye aratin. Milyonlarca sitenin
> > f(x)=(x^2)(sin(1/x)) fonksiyonunu haykirdigini gorebilirsiniz. ) Peki bu
> > tur
> > fonksiyonlarin bir ozelligi var midir? Aradim bulamadim. Aslinda bir
> > seyler
> > buldum da, karnim doymadi.( fonksiyonun turevinin intermediate value
> > teoremine uymasi gerekiyormus. Ya da fonksiyonun smooth
> > (yuvarlak  hatlara
> > sahip :)) olmasi gerekiyormus ki butun analitik fonksiyonlar smoothmus.
> > )
> > Neyse, bu garip(bana gore garip) fonksiyonlarin belli basli ozellikleri
> > var
> > midir?
> > Not: Bir fonksiyonun differentiable oldugunu soylediler. Ben de
> > turevinin
> > surekli oldugunu kabul edip kullandim. Puanimi cok kirdilar. Uzuldum.
> > Mail
> > toplulugundaki ogrenci arkadaslar!!! Dikkat edin, turevlenebilmek,
> > turevin
> > surekli olmasi demek degildir. (ogrenci arkadas: Heh, biz bunu
> > ilkokuldan
> > beri biliriz.)
> >
> > _________________________________________________________________
> > Hem e-postalarinizi, hem de Bilgisayarinizi MSN Güvenlik ile koruma
> > altina
> > alin! http://www.msn.com.tr/security/
> >
> >
> >
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
> >
>
>
> --
> MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> The Universe Within: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
>
> MIT OpenCourseWare: http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
>

-- 
MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
MIT OpenCourseWare:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061109/54ff5b2f/attachment.htm 