Re: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme var mı?

[E. Mehmet Kıral]

Bu yöntem sınır noktalarını içermeyen sınırlı bir küme verse de hiç
sınırı olmayan bir küme vermesi zor gözüküyor.
E^n'in herhangi bir altkümesi eğer tüm E^n değilse o zaman sınır
noktaları mevcuttur. Kümede olan noktalardan biriyle, diyelim x,
kümede olmayan bir nokta, diyelim y, arasına xt + y(1-t) doğru
parçasını çizelim. Bu noktalardan bazıları kümenin içindedir, bazıları
ise değildir. Kümeye dahil olmayan noktalara denk gelen t'lerin
supremumu, bir sınır noktasına denk gelir.
Demek ki kümemizin tüm E^n olmaması sınır noktası olması için yetiyormuş.

Burada E^n'nin bir vektör uzayı olması özelliklerini kullandık. Çünkü
sadece metrik uzay özellikleri bu söylenileni kanıtlamaya yeterli
değildir.
Ayrık metrik uzayı alırsanız eğer, orada herhangi bir kümenin sınır
noktaları boşkümeyi oluşturur, ve üstelik herhangi bir küme de
sınırlıdır.

Daha az trışkadan (less trivial) bir örnek isterseniz eğer tekparça
olmayan (not connected) herhangi bir metrik uzayın bir parçasını
alabilirsiniz A diyelim, ve eğer o parça sınırlıysa o zaman hem A hem
de A^c hem açık hem kapalı olacaklarından
sınır(A) = kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = A KESİŞİM A^c = BOŞKÜME

Üstelik bir tüm metrik uzay olmayan bir kümenin sınır noktası olmaması
için tam da bu gerekmektedir, uzayın tekparça olmaması ve kümenin bu
parçalardan birisi olması.

2006/11/19, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
>
>
>
> Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok sanssiz bir
> gununde degilsen istedigine ulasirsin.
>
> Ali
>
>
> ________________________________
>
>
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf
> Of Ali ilik
> Sent: Sunday, November 19, 2006 12:08 AM
> To: matematik dünyası
> Subject: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme
> var mı?
>
>
>
>
>
> E^n in sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir altkümesini arıyorum.
>
>
>
>
>
> Böyle bir küme bilen var mı?
>
>
>
>
>
> Ali
> --
> MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> The Universe Within:
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> MIT OpenCourseWare:
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
leaves 76 every time.  ~Author Unknown