Re: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme var mı?

[E. Mehmet Kıral]

Evet boşkümeyi gözden kaçırmışım. Ama çözüm genel olarak aynı. Eğer
E^n'nin altkümesi tüm E^n ya da boşküme değilse o zaman sınır
noktaları vardır. (doğru parçası argumanı ile) dolayısıyla E^n'nin
sınır noktaları olmayan sınırlı tek kümesi boşküme oluyor.
Kümeden ve kümeden olmayan bir elemanımızın olması, kümenin sınır
noktasına sahip olması için yeterli. (ve gerekli de tabii)
Geri kalanını E^n için değil de genel metrik uzaylar için yazmıştım.

2006/11/19, Ali ilik <aliilik at gmail.com>:
> Hocam espriyle karışık olarak algıladım, çok hoşuma gitti cümleniz:
>
>  "Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok sanssiz
> bir gununde degilsen istedigine ulasirsin."
>
> Bir haftaya kadar tüm günlerim çok şanssızdı. Aldığım her sınırlı kümenin
> sınır noktalarını kaldırsam da elde ettiğim küme yine sınır noktalarına
> sahip oluyordu.
>
> Ancak 2 gündür biraz şanslıyım,  sınırlı bir küme olan boş kümeyi aldım ve
> sınır noktalarını çıkardım (zaten yoktular) yine boş kümenin kendisini
> buldum.
>
> Mehmet,
>
> E ^n sınırlı bir küme değil ama (yanılıyor muyum?). O halde aradığım gibi
> bir küme olmuyor E^n, değil mi?
>
> Boş kümenin de sınır noktaları yoktur, çünkü olsaydı, en az bir tane var
> olurdu. Diyelim bir a elemanı...Bu a nın her komşuluğunda hem boş kümeden
> hem de E^n den eleman olmak zorunda olurdu. E^n den vardır ama boş kümeden
> yoktur çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Çelişki. O halde boş kümenin de
> sınır noktası yoktur.
>
> Hem de boş küme sınırlıdır. Çünkü sınırlı olmasaydı normu, verilen her M
> pozitif, reel sayısından büyük eşit olacak şekilde bir elemanı olurdu.
> Halbuki boş kümenin elemanı yok ki. Çelişki. Demek ki boş küme sınırlı bir
> kümedir. (r herhangi bir pozitif, reel seçilebilir.)
>
> Sonuç: boş küme, aradığım gibi, sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir
> kümedir. (Yukarıdaki işlemlerde hata yoksa tabii)
>
> Soru: Boş kümeden başka böyle bir küme var mı (E^n için konuşuyoruz tabi)?
>
> Ali
>
>
>
> 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > Bu yöntem sınır noktalarını içermeyen sınırlı bir küme verse de hiç
> > sınırı olmayan bir küme vermesi zor gözüküyor.
> > E^n'in herhangi bir altkümesi eğer tüm E^n değilse o zaman sınır
> > noktaları mevcuttur. Kümede olan noktalardan biriyle, diyelim x,
> > kümede olmayan bir nokta, diyelim y, arasına xt + y(1-t) doğru
> > parçasını çizelim. Bu noktalardan bazıları kümenin içindedir, bazıları
> > ise değildir. Kümeye dahil olmayan noktalara denk gelen t'lerin
> > supremumu, bir sınır noktasına denk gelir.
> > Demek ki kümemizin tüm E^n olmaması sınır noktası olması için yetiyormuş.
> >
> > Burada E^n'nin bir vektör uzayı olması özelliklerini kullandık. Çünkü
> > sadece metrik uzay özellikleri bu söylenileni kanıtlamaya yeterli
> > değildir.
> > Ayrık metrik uzayı alırsanız eğer, orada herhangi bir kümenin sınır
> > noktaları boşkümeyi oluşturur, ve üstelik herhangi bir küme de
> > sınırlıdır.
> >
> > Daha az trışkadan (less trivial) bir örnek isterseniz eğer tekparça
> > olmayan (not connected) herhangi bir metrik uzayın bir parçasını
> > alabilirsiniz A diyelim, ve eğer o parça sınırlıysa o zaman hem A hem
> > de A^c hem açık hem kapalı olacaklarından
> > sınır(A) = kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = A KESİŞİM A^c = BOŞKÜME
> >
> > Üstelik bir tüm metrik uzay olmayan bir kümenin sınır noktası olmaması
> > için tam da bu gerekmektedir, uzayın tekparça olmaması ve kümenin bu
> > parçalardan birisi olması.
> >
> > 2006/11/19, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
> > >
> > >
> > >
> > > Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok sanssiz
> bir
> > > gununde degilsen istedigine ulasirsin.
> > >
> > > Ali
> > >
> > >
> > > ________________________________
> > >
> > >
> > > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > > [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On
> Behalf
> > > Of Ali ilik
> > > Sent: Sunday, November 19, 2006 12:08 AM
> > > To: matematik dünyası
> > > Subject: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir
> küme
> > > var mı?
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > E^n in sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir altkümesini arıyorum.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Böyle bir küme bilen var mı?
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Ali
> > > --
> > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > The Universe Within:
> > >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > MIT OpenCourseWare:
> > >
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > > _______________________________________________
> > > MD-sorular mailing list
> > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > >
> > >
> > >
> >
> >
> > --
> > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> >
>
>
>
> --
>
> MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> The Universe Within:
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> MIT OpenCourseWare:
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics


-- 
How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
leaves 76 every time.  ~Author Unknown