Re: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme var mı?

21 Kas 2006 Sal 12:03:50 EET

"A nın sınır noktası varsa, o noktanın her açık komşuluğunda (open ball), ya
A dan ya da A^c den eleman yoktur."

Yoksa yerine varsa demişim. Tanımı biliyorum. Yazım hatası yapmışım.

Bir nokta A için sınır noktası değilse, o noktanın hangi komşuluğunu
alırsanız alın, o komşulukta ya A dan ya da A^c den eleman yoktur.

Bağlantılı küme olaylarını bilmiyorum. Biraz okudum, yarın öbürgün
bağlantılı kümeyi işleyeceğiz. Kompaktlık yeni bitti (Her açık örtüsünün
sonlu alt örtüsü...oof oof:)) ).

Verdiğin connected- not connected kavramlarıyla ulaştığın çelişki den
haraketle kanıt daha sağlam olabilir. Ancak bu düzelttiğim haliyle de
kanıtım da geçerli.

Doğru parçası olayını sevdim.

Ali

P.S: Ayşe, yanlış yazmak != yanlış bilmek(!) :))

19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
>
> > A nın sınır noktası varsa, o noktanın her açık komşuluğunda (open ball),
> ya
> > A dan ya da A^c den eleman yoktur.
>
> Hayır vardır.
>
> Birbaşka deyişle, o noktanın her açık
> > komşuluğundaki tüm elemanlar ya A dan ya da A^c dendir.
> >
>
> Hayır hem A'dan hem de A^c'dendir.
> Sınır noktası her komşuluğunda hem A'dan hem de A^c'den birer nokta
> içeren noktaya denir.
> Senin dediğin sınır olmayan nokta oluyor.
>
> Eğer doğru parçası argümanını sevmediysen, ki aslında çok güçlü şeyler
> kullanıyoruz gereksiz yere (E^n'nin dışbükey olduğunu kullanıyoruz
> sadece tekparça olduğunu bilmemiz yeterliyken.)
>
> Boşküme < A < E^n olsun.
>
> A'nın sınır noktası olmadığını varsayalım.
> Yani kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = Boşküme
> Herhangi bir X kümesi için X < kapanış (X) ve eşitlik sadece X
> kapalıysa sağlanır.
> Yani bu kesişimin hakikaten boşküme olabilmesi için hem A'nın hem de
> A^c'nin boşküme olmaları gerekmektedir.
> Bu da hem A'nın hem de A^c'nin açık olmaları anlamına gelir.
> Yani kesişimleri boşküme birleşimleri E^n olan iki açık küme bulmuş
> oluruz ki bu da E^n'nin tekparça (connected) olmadığını söyler. Oysa
> biz E^n'nin tekparça olduğunu biliyoruz (hatta çok daha fazlasını da,
> dışbükey zira kendileri).
>
> Not: İlk kullanıldığında < has altkümesidir, ikinci kullanıldığında <
> altkümesidir anlamındadır.
>
>
> >
> > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > Evet boşkümeyi gözden kaçırmışım. Ama çözüm genel olarak aynı. Eğer
> > > E^n'nin altkümesi tüm E^n ya da boşküme değilse o zaman sınır
> > > noktaları vardır. (doğru parçası argumanı ile) dolayısıyla E^n'nin
> > > sınır noktaları olmayan sınırlı tek kümesi boşküme oluyor.
> > > Kümeden ve kümeden olmayan bir elemanımızın olması, kümenin sınır
> > > noktasına sahip olması için yeterli. (ve gerekli de tabii)
> > > Geri kalanını E^n için değil de genel metrik uzaylar için yazmıştım.
> > >
> > > 2006/11/19, Ali ilik <aliilik at gmail.com>:
> > > > Hocam espriyle karışık olarak algıladım, çok hoşuma gitti cümleniz:
> > > >
> > > >  "Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok
> > sanssiz
> > > > bir gununde degilsen istedigine ulasirsin."
> > > >
> > > > Bir haftaya kadar tüm günlerim çok şanssızdı. Aldığım her sınırlı
> > kümenin
> > > > sınır noktalarını kaldırsam da elde ettiğim küme yine sınır
> noktalarına
> > > > sahip oluyordu.
> > > >
> > > > Ancak 2 gündür biraz şanslıyım,  sınırlı bir küme olan boş kümeyi
> aldım
> > ve
> > > > sınır noktalarını çıkardım (zaten yoktular) yine boş kümenin
> kendisini
> > > > buldum.
> > > >
> > > > Mehmet,
> > > >
> > > > E ^n sınırlı bir küme değil ama (yanılıyor muyum?). O halde aradığım
> > gibi
> > > > bir küme olmuyor E^n, değil mi?
> > > >
> > > > Boş kümenin de sınır noktaları yoktur, çünkü olsaydı, en az bir tane
> var
> > > > olurdu. Diyelim bir a elemanı...Bu a nın her komşuluğunda hem boş
> > kümeden
> > > > hem de E^n den eleman olmak zorunda olurdu. E^n den vardır ama boş
> > kümeden
> > > > yoktur çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Çelişki. O halde boş
> kümenin de
> > > > sınır noktası yoktur.
> > > >
> > > > Hem de boş küme sınırlıdır. Çünkü sınırlı olmasaydı normu, verilen
> her M
> > > > pozitif, reel sayısından büyük eşit olacak şekilde bir elemanı
> olurdu.
> > > > Halbuki boş kümenin elemanı yok ki. Çelişki. Demek ki boş küme
> sınırlı
> > bir
> > > > kümedir. (r herhangi bir pozitif, reel seçilebilir.)
> > > >
> > > > Sonuç: boş küme, aradığım gibi, sınırlı fakat sınır noktası olmayan
> bir
> > > > kümedir. (Yukarıdaki işlemlerde hata yoksa tabii)
> > > >
> > > > Soru: Boş kümeden başka böyle bir küme var mı (E^n için konuşuyoruz
> > tabi)?
> > > >
> > > > Ali
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > > > Bu yöntem sınır noktalarını içermeyen sınırlı bir küme verse de
> hiç
> > > > > sınırı olmayan bir küme vermesi zor gözüküyor.
> > > > > E^n'in herhangi bir altkümesi eğer tüm E^n değilse o zaman sınır
> > > > > noktaları mevcuttur. Kümede olan noktalardan biriyle, diyelim x,
> > > > > kümede olmayan bir nokta, diyelim y, arasına xt + y(1-t) doğru
> > > > > parçasını çizelim. Bu noktalardan bazıları kümenin içindedir,
> bazıları
> > > > > ise değildir. Kümeye dahil olmayan noktalara denk gelen t'lerin
> > > > > supremumu, bir sınır noktasına denk gelir.
> > > > > Demek ki kümemizin tüm E^n olmaması sınır noktası olması için
> > yetiyormuş.
> > > > >
> > > > > Burada E^n'nin bir vektör uzayı olması özelliklerini kullandık.
> Çünkü
> > > > > sadece metrik uzay özellikleri bu söylenileni kanıtlamaya yeterli
> > > > > değildir.
> > > > > Ayrık metrik uzayı alırsanız eğer, orada herhangi bir kümenin
> sınır
> > > > > noktaları boşkümeyi oluşturur, ve üstelik herhangi bir küme de
> > > > > sınırlıdır.
> > > > >
> > > > > Daha az trışkadan (less trivial) bir örnek isterseniz eğer
> tekparça
> > > > > olmayan (not connected) herhangi bir metrik uzayın bir parçasını
> > > > > alabilirsiniz A diyelim, ve eğer o parça sınırlıysa o zaman hem A
> hem
> > > > > de A^c hem açık hem kapalı olacaklarından
> > > > > sınır(A) = kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = A KESİŞİM A^c =
> BOŞKÜME
> > > > >
> > > > > Üstelik bir tüm metrik uzay olmayan bir kümenin sınır noktası
> olmaması
> > > > > için tam da bu gerekmektedir, uzayın tekparça olmaması ve kümenin
> bu
> > > > > parçalardan birisi olması.
> > > > >
> > > > > 2006/11/19, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr >:
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok
> > sanssiz
> > > > bir
> > > > > > gununde degilsen istedigine ulasirsin.
> > > > > >
> > > > > > Ali
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > ________________________________
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > > > > > [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On
> > > > Behalf
> > > > > > Of Ali ilik
> > > > > > Sent: Sunday, November 19, 2006 12:08 AM
> > > > > > To: matematik dünyası
> > > > > > Subject: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan
> bir
> > > > küme
> > > > > > var mı?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > E^n in sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir altkümesini
> arıyorum.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Böyle bir küme bilen var mı?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Ali
> > > > > > --
> > > > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > > > The Universe Within:
> > > > > >
> > > >
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > > > MIT OpenCourseWare:
> > > > > >
> > > >
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > > > > > _______________________________________________
> > > > > > MD-sorular mailing list
> > > > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > > >
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > --
> > > > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > > > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > > > > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > --
> > > >
> > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > The Universe Within:
> > > >
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > MIT OpenCourseWare:
> > > >
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > >
> > >
> > > --
> > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> > >
> >
> >
> >
> > --
> >
> > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > The Universe Within:
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > MIT OpenCourseWare:
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
>
>
> --
> How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> leaves 76 every time.  ~Author Unknown
>

-- 
MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
MIT OpenCourseWare:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061121/68f626b3/attachment.htm 