Re: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme var mı?

21 Kas 2006 Sal 14:06:07 EET

2006/11/21, Ali ilik <aliilik at gmail.com>:
> "A nın sınır noktası varsa, o noktanın her açık komşuluğunda (open ball), ya
> A dan ya da A^c den eleman yoktur."

Tanım bu da değil ama, dolayısıyla kanıt yanlış oluyor. Zaten o kanıt
hiçbir şey kullanmıyor. Dolayısıyla doğru olamaz.

Sınır noktasının tanımı: Bir sınır noktası her komşuluğundan hem A'dan
hem de A^c'den nokta içerir.

>
> Yoksa yerine varsa demişim. Tanımı biliyorum. Yazım hatası yapmışım.
>
> Bir nokta A için sınır noktası değilse, o noktanın hangi komşuluğunu
> alırsanız alın, o komşulukta ya A dan ya da A^c den eleman yoktur.
>
> Bağlantılı küme olaylarını bilmiyorum. Biraz okudum, yarın öbürgün
> bağlantılı kümeyi işleyeceğiz. Kompaktlık yeni bitti (Her açık örtüsünün
> sonlu alt örtüsü...oof oof:)) ).
>
> Verdiğin connected- not connected kavramlarıyla ulaştığın çelişki den
> haraketle kanıt daha sağlam olabilir. Ancak bu düzelttiğim haliyle de
> kanıtım da geçerli.
>
> Doğru parçası olayını sevdim.
>
> Ali
>
> P.S: Ayşe, yanlış yazmak != yanlış bilmek(!) :))
>
>
>
>
>
> 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > A nın sınır noktası varsa, o noktanın her açık komşuluğunda (open ball),
> ya
> > > A dan ya da A^c den eleman yoktur.
> >
> > Hayır vardır.
> >
> > Birbaşka deyişle, o noktanın her açık
> > > komşuluğundaki tüm elemanlar ya A dan ya da A^c dendir.
> > >
> >
> > Hayır hem A'dan hem de A^c'dendir.
> > Sınır noktası her komşuluğunda hem A'dan hem de A^c'den birer nokta
> > içeren noktaya denir.
> > Senin dediğin sınır olmayan nokta oluyor.
> >
> > Eğer doğru parçası argümanını sevmediysen, ki aslında çok güçlü şeyler
> > kullanıyoruz gereksiz yere (E^n'nin dışbükey olduğunu kullanıyoruz
> > sadece tekparça olduğunu bilmemiz yeterliyken.)
> >
> > Boşküme < A < E^n olsun.
> >
> > A'nın sınır noktası olmadığını varsayalım.
> > Yani kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = Boşküme
> > Herhangi bir X kümesi için X < kapanış (X) ve eşitlik sadece X
> > kapalıysa sağlanır.
> > Yani bu kesişimin hakikaten boşküme olabilmesi için hem A'nın hem de
> > A^c'nin boşküme olmaları gerekmektedir.
> > Bu da hem A'nın hem de A^c'nin açık olmaları anlamına gelir.
> > Yani kesişimleri boşküme birleşimleri E^n olan iki açık küme bulmuş
> > oluruz ki bu da E^n'nin tekparça (connected) olmadığını söyler. Oysa
> > biz E^n'nin tekparça olduğunu biliyoruz (hatta çok daha fazlasını da,
> > dışbükey zira kendileri).
> >
> > Not: İlk kullanıldığında < has altkümesidir, ikinci kullanıldığında <
> > altkümesidir anlamındadır.
> >
> >
> > >
> > > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > > Evet boşkümeyi gözden kaçırmışım. Ama çözüm genel olarak aynı. Eğer
> > > > E^n'nin altkümesi tüm E^n ya da boşküme değilse o zaman sınır
> > > > noktaları vardır. (doğru parçası argumanı ile) dolayısıyla E^n'nin
> > > > sınır noktaları olmayan sınırlı tek kümesi boşküme oluyor.
> > > > Kümeden ve kümeden olmayan bir elemanımızın olması, kümenin sınır
> > > > noktasına sahip olması için yeterli. (ve gerekli de tabii)
> > > > Geri kalanını E^n için değil de genel metrik uzaylar için yazmıştım.
> > > >
> > > > 2006/11/19, Ali ilik <aliilik at gmail.com>:
> > > > > Hocam espriyle karışık olarak algıladım, çok hoşuma gitti cümleniz:
> > > > >
> > > > >  "Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok
> > > sanssiz
> > > > > bir gununde degilsen istedigine ulasirsin."
> > > > >
> > > > > Bir haftaya kadar tüm günlerim çok şanssızdı. Aldığım her sınırlı
> > > kümenin
> > > > > sınır noktalarını kaldırsam da elde ettiğim küme yine sınır
> noktalarına
> > > > > sahip oluyordu.
> > > > >
> > > > > Ancak 2 gündür biraz şanslıyım,  sınırlı bir küme olan boş kümeyi
> aldım
> > > ve
> > > > > sınır noktalarını çıkardım (zaten yoktular) yine boş kümenin
> kendisini
> > > > > buldum.
> > > > >
> > > > > Mehmet,
> > > > >
> > > > > E ^n sınırlı bir küme değil ama (yanılıyor muyum?). O halde aradığım
> > > gibi
> > > > > bir küme olmuyor E^n, değil mi?
> > > > >
> > > > > Boş kümenin de sınır noktaları yoktur, çünkü olsaydı, en az bir tane
> var
> > > > > olurdu. Diyelim bir a elemanı...Bu a nın her komşuluğunda hem boş
> > > kümeden
> > > > > hem de E^n den eleman olmak zorunda olurdu. E^n den vardır ama boş
> > > kümeden
> > > > > yoktur çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Çelişki. O halde boş
> kümenin de
> > > > > sınır noktası yoktur.
> > > > >
> > > > > Hem de boş küme sınırlıdır. Çünkü sınırlı olmasaydı normu, verilen
> her M
> > > > > pozitif, reel sayısından büyük eşit olacak şekilde bir elemanı
> olurdu.
> > > > > Halbuki boş kümenin elemanı yok ki. Çelişki. Demek ki boş küme
> sınırlı
> > > bir
> > > > > kümedir. (r herhangi bir pozitif, reel seçilebilir.)
> > > > >
> > > > > Sonuç: boş küme, aradığım gibi, sınırlı fakat sınır noktası olmayan
> bir
> > > > > kümedir. (Yukarıdaki işlemlerde hata yoksa tabii)
> > > > >
> > > > > Soru: Boş kümeden başka böyle bir küme var mı (E^n için konuşuyoruz
> > > tabi)?
> > > > >
> > > > > Ali
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > > > > Bu yöntem sınır noktalarını içermeyen sınırlı bir küme verse de
> hiç
> > > > > > sınırı olmayan bir küme vermesi zor gözüküyor.
> > > > > > E^n'in herhangi bir altkümesi eğer tüm E^n değilse o zaman sınır
> > > > > > noktaları mevcuttur. Kümede olan noktalardan biriyle, diyelim x,
> > > > > > kümede olmayan bir nokta, diyelim y, arasına xt + y(1-t) doğru
> > > > > > parçasını çizelim. Bu noktalardan bazıları kümenin içindedir,
> bazıları
> > > > > > ise değildir. Kümeye dahil olmayan noktalara denk gelen t'lerin
> > > > > > supremumu, bir sınır noktasına denk gelir.
> > > > > > Demek ki kümemizin tüm E^n olmaması sınır noktası olması için
> > > yetiyormuş.
> > > > > >
> > > > > > Burada E^n'nin bir vektör uzayı olması özelliklerini kullandık.
> Çünkü
> > > > > > sadece metrik uzay özellikleri bu söylenileni kanıtlamaya yeterli
> > > > > > değildir.
> > > > > > Ayrık metrik uzayı alırsanız eğer, orada herhangi bir kümenin
> sınır
> > > > > > noktaları boşkümeyi oluşturur, ve üstelik herhangi bir küme de
> > > > > > sınırlıdır.
> > > > > >
> > > > > > Daha az trışkadan (less trivial) bir örnek isterseniz eğer
> tekparça
> > > > > > olmayan (not connected) herhangi bir metrik uzayın bir parçasını
> > > > > > alabilirsiniz A diyelim, ve eğer o parça sınırlıysa o zaman hem A
> hem
> > > > > > de A^c hem açık hem kapalı olacaklarından
> > > > > > sınır(A) = kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = A KESİŞİM A^c =
> BOŞKÜME
> > > > > >
> > > > > > Üstelik bir tüm metrik uzay olmayan bir kümenin sınır noktası
> olmaması
> > > > > > için tam da bu gerekmektedir, uzayın tekparça olmaması ve kümenin
> bu
> > > > > > parçalardan birisi olması.
> > > > > >
> > > > > > 2006/11/19, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr >:
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok
> > > sanssiz
> > > > > bir
> > > > > > > gununde degilsen istedigine ulasirsin.
> > > > > > >
> > > > > > > Ali
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > ________________________________
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > > > > > > [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> ] On
> > > > > Behalf
> > > > > > > Of Ali ilik
> > > > > > > Sent: Sunday, November 19, 2006 12:08 AM
> > > > > > > To: matematik dünyası
> > > > > > > Subject: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan
> bir
> > > > > küme
> > > > > > > var mı?
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > E^n in sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir altkümesini
> arıyorum.
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Böyle bir küme bilen var mı?
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Ali
> > > > > > > --
> > > > > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > > > > The Universe Within:
> > > > > > >
> > > > >
> > >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > > > > MIT OpenCourseWare:
> > > > > > >
> > > > >
> > >
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > > > > > > _______________________________________________
> > > > > > > MD-sorular mailing list
> > > > > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > > > >
> > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > --
> > > > > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > > > > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > > > > > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > --
> > > > >
> > > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > > The Universe Within:
> > > > >
> > >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > > MIT OpenCourseWare:
> > > > >
> > >
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > > >
> > > >
> > > > --
> > > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > > > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> > > >
> > >
> > >
> > >
> > > --
> > >
> > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > The Universe Within:
> > >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > MIT OpenCourseWare:
> > >
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> >
> >
> > --
> > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> >
>
>
>
> --
>
> MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> The Universe Within:
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> MIT OpenCourseWare:
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics

-- 
How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
leaves 76 every time.  ~Author Unknown