Re: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme var mı?
Ali ilik
aliilik at gmail.com
23 Kas 2006 Per 23:44:10 EET
Aşırı dikkatsizlik için özür diliyorum.
Bağlantısız bir metrik uzayın parçasıyla kastedileni şimdi anlıyorum.
Mesela E^n in ayrık noktalardan oluşan bir altkümesinin de yığılma noktası
yoktur.
Yani, A = {a1, a2, ..., an } in yığılma noktası yoktur.
Ali
21.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
>
> 2006/11/21, Ali ilik <aliilik at gmail.com>:
> > "A nın sınır noktası varsa, o noktanın her açık komşuluğunda (open
> ball), ya
> > A dan ya da A^c den eleman yoktur."
>
> Tanım bu da değil ama, dolayısıyla kanıt yanlış oluyor. Zaten o kanıt
> hiçbir şey kullanmıyor. Dolayısıyla doğru olamaz.
>
> Sınır noktasının tanımı: Bir sınır noktası her komşuluğundan hem A'dan
> hem de A^c'den nokta içerir.
>
> >
> > Yoksa yerine varsa demişim. Tanımı biliyorum. Yazım hatası yapmışım.
> >
> > Bir nokta A için sınır noktası değilse, o noktanın hangi komşuluğunu
> > alırsanız alın, o komşulukta ya A dan ya da A^c den eleman yoktur.
> >
> > Bağlantılı küme olaylarını bilmiyorum. Biraz okudum, yarın öbürgün
> > bağlantılı kümeyi işleyeceğiz. Kompaktlık yeni bitti (Her açık örtüsünün
> > sonlu alt örtüsü...oof oof:)) ).
> >
> > Verdiğin connected- not connected kavramlarıyla ulaştığın çelişki den
> > haraketle kanıt daha sağlam olabilir. Ancak bu düzelttiğim haliyle de
> > kanıtım da geçerli.
> >
> > Doğru parçası olayını sevdim.
> >
> > Ali
> >
> > P.S: Ayşe, yanlış yazmak != yanlış bilmek(!) :))
> >
> >
> >
> >
> >
> > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > > A nın sınır noktası varsa, o noktanın her açık komşuluğunda (open
> ball),
> > ya
> > > > A dan ya da A^c den eleman yoktur.
> > >
> > > Hayır vardır.
> > >
> > > Birbaşka deyişle, o noktanın her açık
> > > > komşuluğundaki tüm elemanlar ya A dan ya da A^c dendir.
> > > >
> > >
> > > Hayır hem A'dan hem de A^c'dendir.
> > > Sınır noktası her komşuluğunda hem A'dan hem de A^c'den birer nokta
> > > içeren noktaya denir.
> > > Senin dediğin sınır olmayan nokta oluyor.
> > >
> > > Eğer doğru parçası argümanını sevmediysen, ki aslında çok güçlü şeyler
> > > kullanıyoruz gereksiz yere (E^n'nin dışbükey olduğunu kullanıyoruz
> > > sadece tekparça olduğunu bilmemiz yeterliyken.)
> > >
> > > Boşküme < A < E^n olsun.
> > >
> > > A'nın sınır noktası olmadığını varsayalım.
> > > Yani kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = Boşküme
> > > Herhangi bir X kümesi için X < kapanış (X) ve eşitlik sadece X
> > > kapalıysa sağlanır.
> > > Yani bu kesişimin hakikaten boşküme olabilmesi için hem A'nın hem de
> > > A^c'nin boşküme olmaları gerekmektedir.
> > > Bu da hem A'nın hem de A^c'nin açık olmaları anlamına gelir.
> > > Yani kesişimleri boşküme birleşimleri E^n olan iki açık küme bulmuş
> > > oluruz ki bu da E^n'nin tekparça (connected) olmadığını söyler. Oysa
> > > biz E^n'nin tekparça olduğunu biliyoruz (hatta çok daha fazlasını da,
> > > dışbükey zira kendileri).
> > >
> > > Not: İlk kullanıldığında < has altkümesidir, ikinci kullanıldığında <
> > > altkümesidir anlamındadır.
> > >
> > >
> > > >
> > > > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > > > Evet boşkümeyi gözden kaçırmışım. Ama çözüm genel olarak aynı.
> Eğer
> > > > > E^n'nin altkümesi tüm E^n ya da boşküme değilse o zaman sınır
> > > > > noktaları vardır. (doğru parçası argumanı ile) dolayısıyla E^n'nin
> > > > > sınır noktaları olmayan sınırlı tek kümesi boşküme oluyor.
> > > > > Kümeden ve kümeden olmayan bir elemanımızın olması, kümenin sınır
> > > > > noktasına sahip olması için yeterli. (ve gerekli de tabii)
> > > > > Geri kalanını E^n için değil de genel metrik uzaylar için
> yazmıştım.
> > > > >
> > > > > 2006/11/19, Ali ilik <aliilik at gmail.com>:
> > > > > > Hocam espriyle karışık olarak algıladım, çok hoşuma gitti
> cümleniz:
> > > > > >
> > > > > > "Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger
> cok
> > > > sanssiz
> > > > > > bir gununde degilsen istedigine ulasirsin."
> > > > > >
> > > > > > Bir haftaya kadar tüm günlerim çok şanssızdı. Aldığım her
> sınırlı
> > > > kümenin
> > > > > > sınır noktalarını kaldırsam da elde ettiğim küme yine sınır
> > noktalarına
> > > > > > sahip oluyordu.
> > > > > >
> > > > > > Ancak 2 gündür biraz şanslıyım, sınırlı bir küme olan boş
> kümeyi
> > aldım
> > > > ve
> > > > > > sınır noktalarını çıkardım (zaten yoktular) yine boş kümenin
> > kendisini
> > > > > > buldum.
> > > > > >
> > > > > > Mehmet,
> > > > > >
> > > > > > E ^n sınırlı bir küme değil ama (yanılıyor muyum?). O halde
> aradığım
> > > > gibi
> > > > > > bir küme olmuyor E^n, değil mi?
> > > > > >
> > > > > > Boş kümenin de sınır noktaları yoktur, çünkü olsaydı, en az bir
> tane
> > var
> > > > > > olurdu. Diyelim bir a elemanı...Bu a nın her komşuluğunda hem
> boş
> > > > kümeden
> > > > > > hem de E^n den eleman olmak zorunda olurdu. E^n den vardır ama
> boş
> > > > kümeden
> > > > > > yoktur çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Çelişki. O halde boş
> > kümenin de
> > > > > > sınır noktası yoktur.
> > > > > >
> > > > > > Hem de boş küme sınırlıdır. Çünkü sınırlı olmasaydı normu,
> verilen
> > her M
> > > > > > pozitif, reel sayısından büyük eşit olacak şekilde bir elemanı
> > olurdu.
> > > > > > Halbuki boş kümenin elemanı yok ki. Çelişki. Demek ki boş küme
> > sınırlı
> > > > bir
> > > > > > kümedir. (r herhangi bir pozitif, reel seçilebilir.)
> > > > > >
> > > > > > Sonuç: boş küme, aradığım gibi, sınırlı fakat sınır noktası
> olmayan
> > bir
> > > > > > kümedir. (Yukarıdaki işlemlerde hata yoksa tabii)
> > > > > >
> > > > > > Soru: Boş kümeden başka böyle bir küme var mı (E^n için
> konuşuyoruz
> > > > tabi)?
> > > > > >
> > > > > > Ali
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > > > > > Bu yöntem sınır noktalarını içermeyen sınırlı bir küme verse
> de
> > hiç
> > > > > > > sınırı olmayan bir küme vermesi zor gözüküyor.
> > > > > > > E^n'in herhangi bir altkümesi eğer tüm E^n değilse o zaman
> sınır
> > > > > > > noktaları mevcuttur. Kümede olan noktalardan biriyle, diyelim
> x,
> > > > > > > kümede olmayan bir nokta, diyelim y, arasına xt + y(1-t) doğru
> > > > > > > parçasını çizelim. Bu noktalardan bazıları kümenin içindedir,
> > bazıları
> > > > > > > ise değildir. Kümeye dahil olmayan noktalara denk gelen
> t'lerin
> > > > > > > supremumu, bir sınır noktasına denk gelir.
> > > > > > > Demek ki kümemizin tüm E^n olmaması sınır noktası olması için
> > > > yetiyormuş.
> > > > > > >
> > > > > > > Burada E^n'nin bir vektör uzayı olması özelliklerini
> kullandık.
> > Çünkü
> > > > > > > sadece metrik uzay özellikleri bu söylenileni kanıtlamaya
> yeterli
> > > > > > > değildir.
> > > > > > > Ayrık metrik uzayı alırsanız eğer, orada herhangi bir kümenin
> > sınır
> > > > > > > noktaları boşkümeyi oluşturur, ve üstelik herhangi bir küme de
> > > > > > > sınırlıdır.
> > > > > > >
> > > > > > > Daha az trışkadan (less trivial) bir örnek isterseniz eğer
> > tekparça
> > > > > > > olmayan (not connected) herhangi bir metrik uzayın bir
> parçasını
> > > > > > > alabilirsiniz A diyelim, ve eğer o parça sınırlıysa o zaman
> hem A
> > hem
> > > > > > > de A^c hem açık hem kapalı olacaklarından
> > > > > > > sınır(A) = kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = A KESİŞİM A^c =
> > BOŞKÜME
> > > > > > >
> > > > > > > Üstelik bir tüm metrik uzay olmayan bir kümenin sınır noktası
> > olmaması
> > > > > > > için tam da bu gerekmektedir, uzayın tekparça olmaması ve
> kümenin
> > bu
> > > > > > > parçalardan birisi olması.
> > > > > > >
> > > > > > > 2006/11/19, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr >:
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger
> cok
> > > > sanssiz
> > > > > > bir
> > > > > > > > gununde degilsen istedigine ulasirsin.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ali
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > ________________________________
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > > > > > > > [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > ] On
> > > > > > Behalf
> > > > > > > > Of Ali ilik
> > > > > > > > Sent: Sunday, November 19, 2006 12:08 AM
> > > > > > > > To: matematik dünyası
> > > > > > > > Subject: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası
> olmayan
> > bir
> > > > > > küme
> > > > > > > > var mı?
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > E^n in sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir altkümesini
> > arıyorum.
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Böyle bir küme bilen var mı?
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ali
> > > > > > > > --
> > > > > > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > > > > > The Universe Within:
> > > > > > > >
> > > > > >
> > > >
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > > > > > MIT OpenCourseWare:
> > > > > > > >
> > > > > >
> > > >
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > > > > > > > _______________________________________________
> > > > > > > > MD-sorular mailing list
> > > > > > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > > > > >
> > > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > --
> > > > > > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > > > > > afterwards? You can subtract it as many times as you want,
> and it
> > > > > > > leaves 76 every time. ~Author Unknown
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > --
> > > > > >
> > > > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > > > The Universe Within:
> > > > > >
> > > >
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > > > MIT OpenCourseWare:
> > > > > >
> > > >
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > > > >
> > > > >
> > > > > --
> > > > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > > > afterwards? You can subtract it as many times as you want, and it
> > > > > leaves 76 every time. ~Author Unknown
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > --
> > > >
> > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > The Universe Within:
> > > >
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > MIT OpenCourseWare:
> > > >
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > >
> > >
> > > --
> > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > afterwards? You can subtract it as many times as you want, and it
> > > leaves 76 every time. ~Author Unknown
> > >
> >
> >
> >
> > --
> >
> > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > The Universe Within:
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > MIT OpenCourseWare:
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
>
>
> --
> How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> afterwards? You can subtract it as many times as you want, and it
> leaves 76 every time. ~Author Unknown
>
--
MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
MIT OpenCourseWare:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061123/96f5b66b/attachment.htm
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi