RE: [MD-sorular] ''e'' ye neden ihtiyaç duyuldu?

ali nesin anesin at bilgi.edu.tr
18 Eki 2006 Çar 02:26:13 EEST


Tarihsel degil ama matematiksel aciklama.

Ayrintilar meraklisina birakilmistir.

 

(1) x^n fonksiyonu, x^{n+1}/(n+1) fonksiyonunun turevidir.

 

(2) Ama bunun dogru olmasi icin n, -1 olmamalidir. Yoksa x^{n+1}/(n+1)
anlamsizdir.

 

(3) Dogal soru: n = -1 iken ne oluyor? x^{-1}, yani 1/x fonksiyonu bir
fonksiyonun turevi midir? Tureviyse, hangi fonksyonun turevidir?

 

(4) Yanit: Evet, 1/x fonksiyonu (en az) bir fonksiyonun turevidir. Bu,
Calculus'un Temel Teoremi'nden cikar.

 

(5) Calculus'un Temel Teoremi: f(x) surekli bir fonksiyon olsun. a herhangi
bir sayi olsun. f(t)'nin a'dan x'e kadar olan integraline F(x) diyelim. Yani
F(x), f fonksiyonuyla x ekseni arasinda ve dikey a ile x dogrulari arasinda
kalan cebirsel alandir. O zaman F(x) turevlenebilirdir ve turevi f(x)'dir.

Ayrica, turevi f (x) olan tum fonksiyonlar, bir c sabiti icin F(x) + c
olarak yazilirlar.

 

(6) Turevi 1/x olan fonksiyonu simdi bulabiliriz. x > 0 icin 1/x fonksiyonu
sureklidir. Calculus'un Temel Teoremi'ni, pozitif reel sayilarda tanimlanmis
olan 1/x fonksiyonuna uygulayalim.

a = 1 alalim. Herhangi bir x > 0 icin, ln x, 1/t'nin 1'den x'e kadar olan
integrali olsun.

Demek ki, ln x fonksiyonunun turevi 1/x'tir.

 

(7) Kolaylikla gorulecegi uzere ln 1 = 0'dir.

 

(8) x sonsuza giderken, ln x'in limitinin sonsuz oldugunu kanitlamak zor
degildir.

 

(9) ln x turevlenebilir oldugundan sureklidir.

 

(10) Yukardaki 7, 8 ve 9'dan ln x = 1 denkleminin bir cozumu oldugu cikar.
Ayrica ln x'in turevi 1/x oldugundan ln x surekli artmaktadir. Demek ki ln x
= 1 denkleminin bir tek cozumu vardir. Bu cozume e diyelim. Demek ki ln e =
0.

 

(11) Pozitif reel sayilar icin tanimlanmis olan ln x fonksiyonu, pozitif
reel sayilar P kumesinden R'ye giden bir eslemedir (bijeksiyondur, yani
birebir ve ortendir). Dolayisiyla ters fonksiyonu vardir. Ters fonksiyonuna
exp diyelim. exp, R'den P'ye giden bir eslemedir. Demek ki Her x > 0 icin
exp(ln x) = x ve her x icin ln exp x = x. Ayrica ln 1 = 0 oldugundan, exp(0)
= 1'dir. Ve ln e = 0 oldugundan, exp(1) = e.

 

(12) Her a > 0 icin, ln(xa) ile ln x'in turevleri esittir. Demek ki ln(xa) -
ln x'in turevi 0'dir. Demek ki ln(xa) - ln x bir sabittir, bu sabiti, x = 1
yaparak bulabiliriz, sabit ln a cikar. Demek ki ln(xa) - ln x = ln a, yani
ln(xa) = ln x + ln a. Demek ki ln, carpmayi toplamaya donusturur.
Dolayisiyla exp toplamayi carpmaya donusturur.

 

(13) Yukardan, her n dogal sayisi icin ve her x > 0 icin, ln(x^n) = n ln x
cikar, ardindan her q kesirli sayisi icin ln(x^q) = q ln x cikar. Demek ki
exp(qx) = (exp x)^q.

 

(14) x > 0 ve y icin x^y sayisini exp(y ln x) olarak tanimlayalim. Eger y,
kesirli bir sayiysa, x^y kavrami, daha once liseden ve ortaokuldan bilinen
x^y kavramiyla cakisir. Demek ki, exp (y) = exp(y 1) = exp(y ln e) = e^y.

 

Ali

 

 

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of k˙fffffcbra
karakaya
Sent: Tuesday, October 17, 2006 11:04 PM
To: MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] ''e'' ye neden ihtiyaç duyuldu?

 

''e'' sabit sayısı hakkında sadece limitle veya seri açılımla ispatını
bulabildim.benim istediğim exp fonksiyonu hangi ihtiyaçtan ortaya
çıkmış.''e'' neden taban olarak kullanılıyor.Bu soruların cevabını
bulabilecegim bi kaynak gösterebilirsenz sevinirim...

 

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061018/ee3554c5/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi