Re: [MD-sorular] Halkayı dışbükey parçalara ayırmak.

[E. Mehmet Kıral]

Ben bunun neden matematiksel bir kanıt olmadığını göremiyorum. Bence
oldukça sağlam bir kanıt. (Çok gerekirse uzun bir hesapla o renkli
kısımların doğru parçalarıyla hakikatenbirleştirilemeyeceği
gösterilebilir.)

Biz de ilkokuldan bir arkadaşımla şöyle bir çözüm geliştirdik, yanlız
ufak bir önsavın kanıtlanması gerekli:
Önsav: Eğer bir küme dışbükeyse, kapanışı da dışbükeydir.

Bu önsavı varsayalım;
Bu açık halkanın sonlu adet dışbükey kümeleyle örtülüşü olduğunu
varsayalım. Şimdi bu dışbükey kümelerin kapanışı da kapalı halkayı
örter ve dışbükeydirler. Yalnız biz kapalı halkanın örtülemeyeceğini
göstermiştik, dolayısıyla varsayımımız yanlış olmalı.
Bu kanıt sonlu dışbükey kümeye ayrılamayan başka kümeleri bulmamıza da
yarar. İçe doğru eğimli bir sınırı olan her şekil (matematiksel olarak
ifade edemedim, eden lütfen söylesin) açık ya da kapalı fark etmez,
sonlu adet dışbükey kümeyle örtülemez (dışbükey kümeler şeklin içinde
kalmak şartıyla tabii).

Önsavı da kanıtlayabilirseniz sevinirim.

Şeklin sınırı teğeti tanımlı bir eğriyken kanıtlayabildim (o da eh
işte, yine de kanıtı veriyorum) ama genel durum kaldı.
Kanıt: Sorun sadece şeklin sınırındaki noktalarda olabilir. İki
noktayı alalım. Eğer bir nokta sınırda ise doğru parçasını bir doğru
yapalım. Doğru şeklin sınırına teğet olamayaz çünkü dışbükey
şekillerin sınırlarına teğetler onu tek bir noktada kesebilirler ancak
(bu da tam olmadı aslında, belki sadece yeni eklenen noktalar doğruya
değiyordur ne biliyoruz, sonuçta biz sadece ilk verilen kümenin
dışbükey olduğunu biliyoruz.) Doğru teğet olmadığından ufak bir doğru
parçası şeklin içinde kalır. İlk aldığımız iki nokta arasındaki doğru
parçası şimdi kümenin içindeki iki nokta arasındaki doğru parçası
oldu. Bu da kümenin aslının dışbükey olduğu varsayımına ters.



2006/10/27, Burak Bitlis <burak_bitlis at hotmail.com>:
>
> Merhaba,
> Matematiksel bir Kanit degil ama .. bi fikir vermesi acisindan bir cevap
> yaziyorum. Zihinde canlanmasi icin, ekte bir sekil gonderdim.
>
> 1) Icteki cemberi distan tam saran duzgun N-gen dusunelim.. (ekteki sekilde,
> N=8)
> 2) Cokgenle Cember arasinda kalan, teget noktalariyla birbirinden ayrilan, N
> tane bolge olustugunu gorecegiz,  (ekteki sekilde, renkli bolgeler)
> (sinirlar bolgeye dahil olmasin)
> 3) Herhangi bir bolgedeki noktalar, diger bolgelerdeki noktalardan ayri
> disbukey kumelerde olmak zorunda.
> 4) Dolaysiyla en az N tane kumeye ihtiyac var,
> 5) N'i istedigim gibi buyuk secebilcegim icin, minimum kume adedine sinir
> koyamiyoruz.
>
> Umarim bi fikir vermistir,
> Burak
>
>
>
> ________________________________
>
> > Date: Thu, 26 Oct 2006 20:19:52 +0300
> > From: luzumi at gmail.com
> > To: md-sorular at matematikdunyasi.org
> > Subject: [MD-sorular] Halkayı dışbükey parçalara ayırmak.
>
> >
> > Merhaba,
> >
> > Kapalı bir halkayı, yani örneğin düzlemde 1 =< x^2 + y^2 =< 2
> > eşitsizliklerini sağlayan (x,y) ikililerinden oluşan kümeyi sonlu
> > sayıda dışbükey kümeye ayırmak mümkün değil. Burada ayırmaktan kastım
> > halkanın sonlu dışbükey küme tarafından bir örtülüşünü bulmak. Bu
> > kümelerin hepsi halkanın birer altkümesi olacaklar tabii.
> > Bu imkansızlığı görmek için iç çemberdeki her noktanın ayrı dışbükey
> > kümelerde olduğunu görmek yeterli, iç çemberde sonsuz nokta olduğundan
> > bu şekil sonlu dışbükey kümeyle örtülemez.
> > Peki aynı şeyi açık halka için de söyleyebilir miyiz? Yani 1 < x^2 +
> > y^2 < 2 eşitsizliklerini sağlayan (x,y) ikilileri kümesi için.
> > Tahminimce söyleriz. Kanıtlayabilir misiniz?
>
>
> ________________________________
> Try the next generation of search with Windows LiveT Search today! Try it
> now!
>