Re: [MD-sorular] Halkayı dışbükey parçalara ayırmak.

[E. Mehmet Kıral]

Önsavın doğru düzgün kanıtı:

Önsav: Eğer bir A kümesi dışbükeyse, A'nın kapanışı da ( cl(A) diyelim
buna) dışbükeydir.
Şimdi x,y noktaları cl(A)'da olsunlar.
Aralarında bir doğru parçası bulacağım cl(A)'da olan.
Şimdi cl(A) 'nın tanımı gereği x_n --> x ve y_n ---> y dizileri vardır
A'nın içerisinde. A dışbükey olduğundan her t € [0,1] ve her n € N
için t*x_n + (1-t)*y_n noktaları A'nın elemanlarıdır.
Yani her bir t için A'nın içinde bir dizi oluşur, ve hatta limitin
toplama ve bir sabitle çarpma ile ilgili özelliklerini kullandığımızda
bu dizinin bir yere yakınsadığını ve hatta tx + (1-t)y noktasına
yakınsadıklarını görüyoruz. Kapanışın tanımı gereği bu nokta cl(A)'nın
içindedir.
Demek ki cl(A)'dan herhangi x,y alırsak aralarındaki doğru parçası da
yine cl(A) 'da kalıyor.
cl(A) dışbükey!!!

2006/10/28, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> Ben bunun neden matematiksel bir kanıt olmadığını göremiyorum. Bence
> oldukça sağlam bir kanıt. (Çok gerekirse uzun bir hesapla o renkli
> kısımların doğru parçalarıyla hakikatenbirleştirilemeyeceği
> gösterilebilir.)
>
> Biz de ilkokuldan bir arkadaşımla şöyle bir çözüm geliştirdik, yanlız
> ufak bir önsavın kanıtlanması gerekli:
> Önsav: Eğer bir küme dışbükeyse, kapanışı da dışbükeydir.
>
> Bu önsavı varsayalım;
> Bu açık halkanın sonlu adet dışbükey kümeleyle örtülüşü olduğunu
> varsayalım. Şimdi bu dışbükey kümelerin kapanışı da kapalı halkayı
> örter ve dışbükeydirler. Yalnız biz kapalı halkanın örtülemeyeceğini
> göstermiştik, dolayısıyla varsayımımız yanlış olmalı.
> Bu kanıt sonlu dışbükey kümeye ayrılamayan başka kümeleri bulmamıza da
> yarar. İçe doğru eğimli bir sınırı olan her şekil (matematiksel olarak
> ifade edemedim, eden lütfen söylesin) açık ya da kapalı fark etmez,
> sonlu adet dışbükey kümeyle örtülemez (dışbükey kümeler şeklin içinde
> kalmak şartıyla tabii).
>
> Önsavı da kanıtlayabilirseniz sevinirim.
>
> Şeklin sınırı teğeti tanımlı bir eğriyken kanıtlayabildim (o da eh
> işte, yine de kanıtı veriyorum) ama genel durum kaldı.
> Kanıt: Sorun sadece şeklin sınırındaki noktalarda olabilir. İki
> noktayı alalım. Eğer bir nokta sınırda ise doğru parçasını bir doğru
> yapalım. Doğru şeklin sınırına teğet olamayaz çünkü dışbükey
> şekillerin sınırlarına teğetler onu tek bir noktada kesebilirler ancak
> (bu da tam olmadı aslında, belki sadece yeni eklenen noktalar doğruya
> değiyordur ne biliyoruz, sonuçta biz sadece ilk verilen kümenin
> dışbükey olduğunu biliyoruz.) Doğru teğet olmadığından ufak bir doğru
> parçası şeklin içinde kalır. İlk aldığımız iki nokta arasındaki doğru
> parçası şimdi kümenin içindeki iki nokta arasındaki doğru parçası
> oldu. Bu da kümenin aslının dışbükey olduğu varsayımına ters.
>
>
>
> 2006/10/27, Burak Bitlis <burak_bitlis at hotmail.com>:
> >
> > Merhaba,
> > Matematiksel bir Kanit degil ama .. bi fikir vermesi acisindan bir cevap
> > yaziyorum. Zihinde canlanmasi icin, ekte bir sekil gonderdim.
> >
> > 1) Icteki cemberi distan tam saran duzgun N-gen dusunelim.. (ekteki sekilde,
> > N=8)
> > 2) Cokgenle Cember arasinda kalan, teget noktalariyla birbirinden ayrilan, N
> > tane bolge olustugunu gorecegiz,  (ekteki sekilde, renkli bolgeler)
> > (sinirlar bolgeye dahil olmasin)
> > 3) Herhangi bir bolgedeki noktalar, diger bolgelerdeki noktalardan ayri
> > disbukey kumelerde olmak zorunda.
> > 4) Dolaysiyla en az N tane kumeye ihtiyac var,
> > 5) N'i istedigim gibi buyuk secebilcegim icin, minimum kume adedine sinir
> > koyamiyoruz.
> >
> > Umarim bi fikir vermistir,
> > Burak
> >
> >
> >
> > ________________________________
> >
> > > Date: Thu, 26 Oct 2006 20:19:52 +0300
> > > From: luzumi at gmail.com
> > > To: md-sorular at matematikdunyasi.org
> > > Subject: [MD-sorular] Halkayı dışbükey parçalara ayırmak.
> >
> > >
> > > Merhaba,
> > >
> > > Kapalı bir halkayı, yani örneğin düzlemde 1 =< x^2 + y^2 =< 2
> > > eşitsizliklerini sağlayan (x,y) ikililerinden oluşan kümeyi sonlu
> > > sayıda dışbükey kümeye ayırmak mümkün değil. Burada ayırmaktan kastım
> > > halkanın sonlu dışbükey küme tarafından bir örtülüşünü bulmak. Bu
> > > kümelerin hepsi halkanın birer altkümesi olacaklar tabii.
> > > Bu imkansızlığı görmek için iç çemberdeki her noktanın ayrı dışbükey
> > > kümelerde olduğunu görmek yeterli, iç çemberde sonsuz nokta olduğundan
> > > bu şekil sonlu dışbükey kümeyle örtülemez.
> > > Peki aynı şeyi açık halka için de söyleyebilir miyiz? Yani 1 < x^2 +
> > > y^2 < 2 eşitsizliklerini sağlayan (x,y) ikilileri kümesi için.
> > > Tahminimce söyleriz. Kanıtlayabilir misiniz?
> >
> >
> > ________________________________
> > Try the next generation of search with Windows LiveT Search today! Try it
> > now!
> >
>