RE: [MD-sorular] Açık küme & 1. türevi olan ancak 2. türevi olmayan bir fonksiyon

30 Eki 2006 Pzt 10:44:45 EET

f(x) = x^nsin (1/x) gibi bir fonksiyon isi goruyor diye animsiyorum. (n = 1
dene once)

Ama hata yapma payini 0'a indirgeyen bir ipucu vereyim: Calculus'un Temel
Teoremi'ni kullan.

Ali

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Ali ilik
Sent: Sunday, October 29, 2006 11:46 PM
To: Matematik Dünyası
Subject: [MD-sorular] Açık küme & 1. türevi olan ancak 2. türevi olmayan bir
fonksiyon

Hocamız derste bir soru sormuştu: "2. türevi olmayan bir fonksiyon
bulunuz..." Bir ödev sorusu değildi. Düşünmemiz için sordu. Bayağıdır
düşünüyorum ama fazla bi yol katedemedim. Artı başka sorularım da var, madde
halinde soracağım bir kaç soru olduğu için. Teşekkürler. 

1-http://mathworld.wolfram.com/NowhereDifferentiableFunction.html
(http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html
http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html)linkinde açıklanan
Blancmange ve Weierstrass fonksiyonlarının birinci türevleri yokmuş. 2.
türevi olmayan bir fonksiyon arıyorum. Aslında, 1. türevi olmayan bir
fonksiyonun ikinci türevi de yoktur. O halde yukarıdaki linkteki Blancmange
ve Weierstrass fonksiyonları işimi görür. Biraz daha zorlaşsın...O zaman
şöyle sorayım: (Soru1) 1. türevi olan ama 2. türevi olmayan bir fonksiyon
var mı? 

Soru 1a) Blan. ve Wei. fonskiyonlarının integralleri varsa o zaman 1.
türevleri kendileridir zaten. 1. türevleri vardır o integral
fonksiyonlarının, 2. türevleri yoktur ama çünkü Bla. ve Wei.'nin 1.
türevleri yok. Ama nasıl integral alacağım? analiz IV dersini görünce belki
ama şimdi alamam sanırım... 

Soru 1b) 2. türevi olan başka hangi fonksiyonlar var? 

Bildiğim bütün logartima, trigonometri vs ifadelerini düşünmeye çalıştım ama
cebirsel düşünmektense gemetrik düşünmek daha iyi bu soru için. Zira 1.
türevi yoksa öyle bir fonksiyondur ki eldeki fonksiyon,
"kırıklıdır/bombeli-kırıklı(!)dır" grafiği teğeti olmadığı için herhangi bir
noktada...Ancak 1. türevi var da 2. türevi yoksa bir fonksiyonun, o zaman
herşeyden önce, fonksiyon süreklidir. 2. türevi yoksa da 2. türev fonksiyonu
kırıklı ya da işte bombelidir Blancmance de olduğu gibi. 

O halde geometrik olarak şöyle bir soru ortaya çıkıyor: grafiği sürekli ve
"kırıklı" ve/veya bombeli" olan bir fonksiyonun integral fonksiyonu, varsa
tabi, işimize yarar. Ki vardır da süreklidir çünkü! 

Yani f' var elimizde diyelim. f' sürekliyse ve f' nün 1. türevi yoksa
herhangi bir yerde domainindeki, o zaman f'' mevcut değildir. Eğer f i
bulabilirsek, soru yanıtlanmış olur. f i bulabilme ayrı bir konu ama vardır
f, zira f' süreklidir! Sürekliyse integrallenebilirdir bir fonskiyon bir
aralıkta çünkü.  

Özetle geometrik olarak grafiği kırıklı olan bir fonksiyonun, varsa,
integral fonksiyonunun grafiğini tahmin etmek/çizmek gibi birşey bu...Çok da
zor olmasa gerek nitekim nasıl f belirliyken, f' tahmin edilebiliyorsa
az-çok, tersine f in ilkelinin de grafiği biraz daha zor da olsa genelde,
tahmin edilebilir. 

Mesela, f' nün 1. türevi yoksa bile herhangi bir noktada yani "kırıklıysa"
bile grafiği, f in en azından artan azalan olduğu ya da varsa artmayan
monoton artan (azalmayan) vs olduğu aralıkları tespit edebiliriz. (f:R->R
olsun bu arada!) Ama cebirsel ifadeyi bulmak daha zor. Nasıl yaparız?
Sanırım " 1. türevi olan ama 2. türevi olmayan bir fonksiyon var mı?"
sorusu intergal almaya indirgeniyor. E elde de 1. türevi olmayan öyle fazla
fonksiyon olmadığı için (en azından iki tane biliyorum şu anda, yukarıdaki
linkteki fonskyionlar), iş o fonksiyonların integralini hesaplamaya kalıyor.
Neyse bayağı bir boş laf ettiğimi hissettim aslında. 

Diğer sorular

2) Bir kümenin açık küme olup olmadığından bahsederken, bir uzaydan da
bahsetmemiz gerekir değil mi? Mesela (a,b) R'de açıktır ancak R^2 de açık
değildir, hatta kapalı küme bile değildir sanırım. Sınır kümesi diye birşey
varsa odur. Daha işlemedik o konuyu...Önümüzdeki haftalarda geleceğiz...Ama
belli oluyor işte open set'in complementi en azından. Open set anlaşılırsa
closed de kolay...Neyse, mesela "(a,b)={(x,y)| a<x<b ve y=0} kümesi açık
değildir." ekisk değil mi? "(a,b)={(x,y)| a<x<b ve y=0} kümesi R^2 de açık
değildir." desek daha doğru değil mi? 

3) R^2 de bir çember açık küme değildir. Bunu cebirsel olarak göstermek için
olmayana ergi yapabiliriz. Bir x_0 noktası alırız çember üzerinde ve r
yarıçaplı, x_0 merkezli en az bir açık yuvar vardır o zaman çemberin
kapsayacağı. Yani açık yuvardaki her nokta çember üzerindedir. Ancak öyle
bir iki p_1, p_2 noktaları vardır ki orjinden ve x_0 dan geçen doğru
üzerinde, o noktalar çemberin elemanı değildirler (açık yuvarı çembere göre
çok küçük seçtiğimizi varsayalım, ki ne kadar büyük seçsek de 0<r'<r şartını
sağlyan r ler işimizi görür). O halde R^2 de bir çember açık değildir. Açık
olmamasını sağlayan en azından öyle bir kEÇ noktası bulmak istedim ki bir
interior point olmasın...Ve bunu cebirsel olarak ifade etmek...Tamam R de
hatta R^2'te bölgelerle ve oklarla işte şu taralı open-disk şu radius
diyebiliriz ama mesela R^n de bir çemberin açık olduğunu göstermek için
cebiri kullanmak zorundayız. O halde bu sefer de R^n de bir çemberin açık
olmadığını göstermek için, açık olduğunu iddia edip (yine bir conterexample
bulmak istiyoruz), çember üzerinde olan ama iç nokta olmayan bir nokta
bulsak yeterli. Mesela hem orjinden hem de interior olduğunu iddia ettiğimiz
x_0 noktasından geçen R^n de bir doğruyu ele alalım. Bu doğruyla, x_ 0 ın r
açık yuvarının kesikli halkasının kesim noktaları R^n deki çemberin elemanı
değildirler. Bunu da cebirsel olarak ifade edebiliriz. 

Yani, p=(p1,...,pn), k=(k1,...,kn) öyle ki p ve k noktaları aşağıdakileri
sağlasın.

a) Toplam i=1 den n e kadar (xi-pi)^2=r^2  (yuvarın yarıçapı r),
x=(x1,...,xn)

b) xEd ise, a1x1+a2x2+...+anxn -ğ=0, ğER (R'n de doğrunun denklemi budur
umarım!!)

tabi x_0Ed olduğundan, a1x_01+a2x_02+...+anx_0n=ğ den de faydalanırız.

R^2 için d: y=(4/3)x ve ç1:(x-3)^2+(y-4)^2=25 eşitliklerini sağlayan p ve k
noktaları ç2:x^2+y^2=25 çemberi üzerinde değillerdir. O yüzden (3,4) ç2 nin
elemanı olmasına rağmen, iç nokta değildir, o hale ç2 açık değldir, işte
cebirsel kanıt. 

Pek bir ilgiçlik yok galiba...Olay bir eşitsizlik bulmaya dayanıyor. Bazı
limit sorularında deltayı bulmak gibi birşey...Biraz daha kolayı sanki...

Sorum şuydu ama ilginç bir soru değil demek ki: bir noktanın iç nokta
olmadığını göstermenin cebirsel yolu nedir? Yanıt: soruya göre otur, uğraş
ve bir eşitsizlik bul:))

Bir iki de saçma olduğunu düşündüğüm ama saçma mı diye soracağım soru var:

3- Açık kümesi olmayan bir uzay varmıdır? Açık kümelerle örtülemeyen bir
uzay...Kapalı kümelerle bir uzayı tamamen örtebilirmiyiz. 

4-Hangi uzaylar için açık-kapalı kümelerden bahsedebiliriz? Mesela {üçgen,
yıldız, kare} kümesinin açık olduğu bir Evrensel küme var mıdır? Yani, açık
küme-kapalı küme kavramlarından sadece R^n de mi bahsedebiliriz? Ya da E^n
de... 

Çok teşekkürler... Bazen salt soru soramıyorum, böyle aklımdan geçenleri
yazıyorum. Boş konuştuysam çok özür dilerim.

Ali

MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html

MIT OpenCourseWare:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics 

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061030/b0e2960a/attachment.htm 