Re: [MD-sorular] Açık küme & 1. türevi olan ancak 2. türevi olmayan bir fonksiyon

31 Eki 2006 Sal 16:55:12 EET

f(x) = (x^n)sin(1/x) ise,

n=1 için,

f(x) = xsin(1/x)

f'(x)=sin(1/x)+ cos(1/x)(-1/(x^2))x = sin(1/x) - cos(1/x)/x : Bir tek x=0 da
tanımsız.

f''(x)=cos(1/x)(-1/(x^2))+[sin(1/x)((-1/x^2))x+cos(1/x)]/(x^2)=
-cos(1/x)/(x^2)+[(-sin(1/x)/x)+cos(1/x)]/(x^2) : Bir tek x=0 da tanımsız.

n=2 için,

f(x) = x^2sin(1/x)

f'(x) = 2xsin(1/x)+ (cos(1/x))(-1/(x^2))x^2 = 2xsin(1/x)-cos(1/x) : Bir tek
x=0 da tanımsız.

f''(x) = 2sin(1/x)+(cos(1/x))(-1/(x^2))2x+sin(1/x)(-1/(x^2)) =
2sin(1/x)-2[cos(1/x)]/x-[sin(1/x)]/(x^2) : Bir tek x=0 da tanımsız.

Yukarıdakileri 3 kez kontrol etmeme rağmen hata yapmış olabiliri ama işin
bir tek sıfırın bozduğu açık.

Halbuki, birinci türevinin olmadığı derken, birinci türevinin var olduğu tek
bir nokta bile olmayan bir f demek istemiştim. İyi ifade edemedim. Aynı
şekilde 2. türevinin olmadığı derken 2. türevinin var olduğu tek bir nokta
bile olmayan bir f (reel) demek istemiştim. (Yoksa, yanılmıyorsam C de bir
kere türevlenebilirse sonsuz kere türevlenebilirdir bir f)

O yüzden en azından n=1, ve n=2 için f(x) = (x^n)sin(1/x) işimi görmüyor.

Calculus'un Temel Teoremi'ni hangi fonksiyona uygulayacağıma karar
veremedim.

f(x) = (x^n)sin(1/x) fonksiyonunaysa kısmi integrasyon yardımcı olabilir
galiba. Düşünüyorum, düşüneceğim. Hata payından kasıt, türev almada hata
payı mı yoksa istediğim gibi bir f bulmadaki hata payı mı anlayamadım.

Weierstrass ve  Hofstadter-Conway Dizisi'nden elde edilen Blancmange
fonksiyonlarına The FTC uygularsam bulacağım fonksiyon işimi görecek. Bir
bulabilsem...Üzerine düşünmedim o integrallerin. Şimdiki işim de
derslerimden arta kalan zamanlarda o integrallerin nasıl alınacağını
araştırmak.

Ali

30.10.2006 tarihinde ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> yazmış:
>
>
>
> f(x) = x^nsin (1/x) gibi bir fonksiyon isi goruyor diye animsiyorum. (n =
> 1 dene once)
>
> Ama hata yapma payini 0'a indirgeyen bir ipucu vereyim: Calculus'un Temel
> Teoremi'ni kullan.
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Ali ilik
> *Sent:* Sunday, October 29, 2006 11:46 PM
> *To:* Matematik Dünyası
> *Subject:* [MD-sorular] Açık küme & 1. türevi olan ancak 2. türevi olmayan
> bir fonksiyon
>
>
>
> Hocamız derste bir soru sormuştu: "2. türevi olmayan bir fonksiyon
> bulunuz..." Bir ödev sorusu değildi. Düşünmemiz için sordu. Bayağıdır
> düşünüyorum ama fazla bi yol katedemedim. Artı başka sorularım da var, madde
> halinde soracağım bir kaç soru olduğu için. Teşekkürler.
>
>
>
> 1-http://mathworld.wolfram.com/NowhereDifferentiableFunction.html (http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html
>  http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html)linkinde açıklanan
> Blancmange ve Weierstrass fonksiyonlarının birinci türevleri yokmuş. 2.
> türevi olmayan bir fonksiyon arıyorum. Aslında, 1. türevi olmayan bir
> fonksiyonun ikinci türevi de yoktur. O halde yukarıdaki linkteki Blancmange
> ve Weierstrass fonksiyonları işimi görür. Biraz daha zorlaşsın...O zaman
> şöyle sorayım: *(Soru1) 1. türevi olan ama 2. türevi olmayan bir fonksiyon
> var mı? *
>
>
>
> Soru 1a) Blan. ve Wei. fonskiyonlarının integralleri varsa o zaman 1.
> türevleri kendileridir zaten. 1. türevleri vardır o integral
> fonksiyonlarının, 2. türevleri yoktur ama çünkü Bla. ve Wei.'nin 1.
> türevleri yok. Ama nasıl integral alacağım? analiz IV dersini görünce belki
> ama şimdi alamam sanırım...
>
>
>
> Soru 1b) 2. türevi olan başka hangi fonksiyonlar var?
>
>
>
> Bildiğim bütün logartima, trigonometri vs ifadelerini düşünmeye çalıştım
> ama cebirsel düşünmektense gemetrik düşünmek daha iyi bu soru için. Zira 1.
> türevi yoksa öyle bir fonksiyondur ki eldeki fonksiyon,
> "kırıklıdır/bombeli-kırıklı(!)dır" grafiği teğeti olmadığı için herhangi bir
> noktada...Ancak 1. türevi var da 2. türevi yoksa bir fonksiyonun, o zaman
> herşeyden önce, fonksiyon süreklidir. 2. türevi yoksa da 2. türev fonksiyonu
> kırıklı ya da işte bombelidir Blancmance de olduğu gibi.
>
>
>
> O halde geometrik olarak şöyle bir soru ortaya çıkıyor: grafiği sürekli ve
> "kırıklı" ve/veya bombeli" olan bir fonksiyonun integral fonksiyonu, varsa
> tabi, işimize yarar. Ki vardır da süreklidir çünkü!
>
>
>
> Yani f' var elimizde diyelim. f' sürekliyse ve f' nün 1. türevi yoksa
> herhangi bir yerde domainindeki, o zaman f'' mevcut değildir. Eğer f
> i bulabilirsek, soru yanıtlanmış olur. f i bulabilme ayrı bir konu ama
> vardır f, zira f' süreklidir! Sürekliyse integrallenebilirdir bir fonskiyon
> bir aralıkta çünkü.
>
>
>
> Özetle geometrik olarak grafiği kırıklı olan bir fonksiyonun, varsa,
> integral fonksiyonunun grafiğini tahmin etmek/çizmek gibi birşey bu...Çok da
> zor olmasa gerek nitekim nasıl f belirliyken, f' tahmin edilebiliyorsa
> az-çok, tersine f in ilkelinin de grafiği biraz daha zor da olsa genelde,
> tahmin edilebilir.
>
>
>
> Mesela, f' nün 1. türevi yoksa bile herhangi bir noktada yani "kırıklıysa"
> bile grafiği, f in en azından artan azalan olduğu ya da varsa artmayan
> monoton artan (azalmayan) vs olduğu aralıkları tespit edebiliriz. (f:R->R
> olsun bu arada!) Ama cebirsel ifadeyi bulmak daha zor. Nasıl yaparız?
> Sanırım " *1. türevi olan ama 2. türevi olmayan bir fonksiyon var mı?"   *sorusu
> intergal almaya indirgeniyor. E elde de 1. türevi olmayan öyle fazla
> fonksiyon olmadığı için (en azından iki tane biliyorum şu anda, yukarıdaki
> linkteki fonskyionlar), iş o fonksiyonların integralini hesaplamaya kalıyor.
> Neyse bayağı bir boş laf ettiğimi hissettim aslında.
>
>
>
> Diğer sorular
>
>
>
> 2) Bir kümenin açık küme olup olmadığından bahsederken, bir uzaydan da
> bahsetmemiz gerekir değil mi? Mesela (a,b) R'de açıktır ancak R^2 de açık
> değildir, hatta kapalı küme bile değildir sanırım. Sınır kümesi diye birşey
> varsa odur. Daha işlemedik o konuyu...Önümüzdeki haftalarda geleceğiz...Ama
> belli oluyor işte open set'in complementi en azından. Open set anlaşılırsa
> closed de kolay...Neyse, mesela "(a,b)={(x,y)| a<x<b ve y=0} kümesi açık
> değildir." ekisk değil mi? "(a,b)={(x,y)| a<x<b ve y=0} kümesi R^2 de açık
> değildir." desek daha doğru değil mi?
>
>
>
> 3) R^2 de bir çember açık küme değildir. Bunu cebirsel olarak göstermek
> için olmayana ergi yapabiliriz. Bir x_0 noktası alırız çember üzerinde ve r
> yarıçaplı, x_0 merkezli en az bir açık yuvar vardır o zaman çemberin
> kapsayacağı. Yani açık yuvardaki her nokta çember üzerindedir. Ancak öyle
> bir iki p_1, p_2 noktaları vardır ki orjinden ve x_0 dan geçen doğru
> üzerinde, o noktalar çemberin elemanı değildirler (açık yuvarı çembere göre
> çok küçük seçtiğimizi varsayalım, ki ne kadar büyük seçsek de 0<r'<r şartını
> sağlyan r ler işimizi görür). O halde R^2 de bir çember açık değildir. Açık
> olmamasını sağlayan en azından öyle bir kEÇ noktası bulmak istedim ki bir
> interior point olmasın...Ve bunu cebirsel olarak ifade etmek...Tamam R de
> hatta R^2'te bölgelerle ve oklarla işte şu taralı open-disk şu radius
> diyebiliriz ama mesela R^n de bir çemberin açık olduğunu göstermek için
> cebiri kullanmak zorundayız. O halde bu sefer de R^n de bir çemberin açık
> olmadığını göstermek için, açık olduğunu iddia edip (yine bir conterexample
> bulmak istiyoruz), çember üzerinde olan ama iç nokta olmayan bir nokta
> bulsak yeterli. Mesela hem orjinden hem de interior olduğunu iddia ettiğimiz
> x_0 noktasından geçen R^n de bir doğruyu ele alalım. Bu doğruyla, x_ 0 ın r
> açık yuvarının kesikli halkasının kesim noktaları R^n deki çemberin elemanı
> değildirler. Bunu da cebirsel olarak ifade edebiliriz.
>
>
>
> Yani, p=(p1,...,pn), k=(k1,...,kn) öyle ki p ve k noktaları aşağıdakileri
> sağlasın.
>
>
>
> a) Toplam i=1 den n e kadar (xi-pi)^2=r^2  (yuvarın yarıçapı r),
> x=(x1,...,xn)
>
> b) xEd ise, a1x1+a2x2+...+anxn -ğ=0, ğER (R'n de doğrunun denklemi budur
> umarım!!)
>
> tabi x_0Ed olduğundan, a1x_01+a2x_02+...+anx_0n=ğ den de faydalanırız.
>
>
>
> R^2 için d: y=(4/3)x ve ç1:(x-3)^2+(y-4)^2=25 eşitliklerini sağlayan p ve
> k noktaları ç2:x^2+y^2=25 çemberi üzerinde değillerdir. O yüzden (3,4) ç2
> nin elemanı olmasına rağmen, iç nokta değildir, o hale ç2 açık değldir, işte
> cebirsel kanıt.
>
>
>
> Pek bir ilgiçlik yok galiba...Olay bir eşitsizlik bulmaya dayanıyor. Bazı
> limit sorularında deltayı bulmak gibi birşey...Biraz daha kolayı sanki...
>
>
>
> Sorum şuydu ama ilginç bir soru değil demek ki: bir noktanın iç nokta
> olmadığını göstermenin cebirsel yolu nedir? Yanıt: soruya göre otur, uğraş
> ve bir eşitsizlik bul:))
>
>
>
> Bir iki de saçma olduğunu düşündüğüm ama saçma mı diye soracağım soru var:
>
>
>
> 3- Açık kümesi olmayan bir uzay varmıdır? Açık kümelerle örtülemeyen bir
> uzay...Kapalı kümelerle bir uzayı tamamen örtebilirmiyiz.
>
>
>
> 4-Hangi uzaylar için açık-kapalı kümelerden bahsedebiliriz? Mesela {üçgen,
> yıldız, kare} kümesinin açık olduğu bir Evrensel küme var mıdır? Yani, açık
> küme-kapalı küme kavramlarından sadece R^n de mi bahsedebiliriz? Ya da E^n
> de...
>
>
>
> Çok teşekkürler... Bazen salt soru soramıyorum, böyle aklımdan geçenleri
> yazıyorum. Boş konuştuysam çok özür dilerim.
>
>
>
> Ali
>
>
>
>
>
> MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> The Universe Within: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
>
> MIT OpenCourseWare:
> http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061031/c4a6ff3b/attachment.htm 