[MD-sorular] Herşeyi küme olarak göstermenin yolu

[Ali ilik]

Herşeyi küme olarak göstermenin bir püf noktası var mıdır? Örneğin, MD
2006-I de sıralı ikili, fonksiyon küme olarak gösterilmişti. Daha doğrusu
neden küme oldukları açıklanmıştı.

Buradan hareketle, matematikte karşılaştığımız ya da öğrendiğimiz bir
kavramı küme olarak gösterme, ya da neden küme olduğunu anlayabilme olgusu
karşısında bunalım yaşayanlara önerisi olan var mı?

Mesala, bir önerme nasıl bir kümedir?

Bir grup, sıralı ikili olarak düşünülebileceğinden bir kümedir. Ör: (Z, +)
yi bir küme olarak gösterebilirz. Çünkü toplama işlemi de bir fonksiyondur.
Zaten işlemin tanımında fonksiyon var. İşlem fonskiyondan geliyor, bunu
biliyoruz.

Örneğin toplama ZXZ->Z bir işlemdir.

O zaman F(a,b)=a+b olmak üzere + = f= (F, (ZXZ,Z)) ve (Z,+)=(Z,(F,
(ZXZ,Z)))  yani,
(Z,+)={{Z,(F, (ZXZ,Z))}, Z}={{Z,{{F, (ZXZ,Z)}, F}}, Z}={{Z,{{f}, F}},
Z}  gösterimini yapabiliyoruz.
(Bu gösterimin özünü kavrayabilmiş değilim! O parantezlerin büyüsünü
anlamadan çok uzağım henüz. Yazıyorum ama haybeye!)

Ya da bir karmaşık sayı da bir kümedir (karmaşık sayılar kümesinden
bahsetmiyoruz! her karmaşık sayının bir küme olmasından bahsediyoruz.):
z=a+ib => z=(a,b) olarak gösterebiliriz. (a,b de bir kümedir sıralı ikili
olduğu için)

Türev alma işlemi de bir kümedir. Çünkü türev alma işlemi bir fonksiyondur,
fonksiyon da kümedir. Benzer şekilde integral alma işlemi de. Hatta
diferansiyel işlemi de.

Fakat iş başka kavramlara gelince zorlaşıyor hissiyatı uyanıyor. Mesela, bir
çokgen nasıl bir kümedir? "Çokgen işte canım, küme zaten noktalar kümesi,
bariz." türünden ifadeler durumu kurtarır mı?

"Bir kümeye ilişkin kavramların" da bir küme olması o ilişkiye kümeler
yardımıyla bir başka açıdan bakılabileceğini gösteriyor. Örneğin çember bir
kümedir (ama nasıl bir küme?). Teğet, kiriş de bir kümedir (çünkü
matematikte herşey kümedir!) O zaman bir venn diyagramıyla
çember-teğet-kiriş ilişkisini görebilmeyi isterdim doğrusu! Teğetler
kümesiyle kirişler kümesi ayrık olsa gerek! Çünkü hem teğet hem kiriş olan
bir şey olamaz. Bu çok açık. Değilse de kanıtı:

Bir çemberin bir teğeti bir doğrudur, kirişi ise doğru parçasıdır. Bir
doğruyla doğru parçası aynı "şey"ler olmadıklarından, kirişle teğet de aynı
"şey" değillerdir.


-- 
Ali İlik
MDBursa Tanıtım Sitesi: http://mdbursa.googlepages.com/
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060903/7af3b4a0/attachment.htm