Re: [MD-sorular] Herşeyi küme olarak göstermenin yolu

[OktayD]

Merhaba Ali Bey,
Eğer sandığım şeyden bahsediyorsanız:

Gödel sayılandırması (Gödel numbering) diye bir şey var. Kurt Gödel eksiklik
teoremini (makaledeki 4. sav) kanıtlamak için ilk önce (1. sav)
matematikteki tüm biçimsel (formel) [ilksavlı (belit) ve çıkarım kurallı]
sistemlerin sayılar kuramına eşyapısal (isomorph) olduğunu
göstermiştir (hatırlatma:
"[Matematik tüm bilimlerin kraliçesi,] sayılar kuramı ise matematiğin
kraliçesidir" J.C.F. Gauss). Örneğin matematiksel mantığı, ya da kümeler
kuramını sayılar kuramı yardımıyla da inceleyebiliriz.

Gödel sayılandırması, matematiksel mantıktaki her simge için bir
sayıatamıştır (1 den 10 a kadar). Ardından Gödel, sıra belirtmesi
açısından
olduğunu sandığım bir şey yapıyor: her simgeyi önermede kaçıncı sıradaysa
(diyelim n), o simgenin sayısını n-inci asalın üssü şeklinde yazıp bunları
çarpım olarak yazıyor (Gödel sayısı). Böylece önermelerle doğal sayılar
arasında birebir bir eşleme yapmış oluyor. Her önermeye bir Gödel sayısı
düşer. Önermeler arasındaki işlemleri (çıkarım kuralları) aritmetik
işlemlerle sağlamış, toplam 20 simge için 1 den 20ye kadar... (bknz. "On
formally Undecidable Propostions of Principia Mathematica and Related
Systems" - Kurt Gödel, 1931; "Gödel Escher Bach"[*] - Douglas Hoffstadter).

Şimdi Gödel'in yaptığıyla tüm matematiği sayılarla ve aritmetikle ifade ve
icra edebildik. Bunu kümeler kuramına götürmek istiyoruz. Benim aklıma ilk
olarak ZFC geldi. ZFC ye göre her sayı bir kümeydi (bknz. "Develer ve
Eşekler"[**] - Ali Nesin, "The Set Theory Lectures" - Ali Nesin, "Set Theory
Lectures" - Wiliiam A. R. Weiss).

Bunu doğal sayılar için yazayım:
sıfır boşkümeye denk
0 = {},
n doğal sayısının ardılı (successor) kendisi ile sadece onu öğe olarak
içeren kümenin bileşimine denk
n' = n U {n}.

yani 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2}, ...
yani her doğal sayı bir kümeymiş.

demin de Gödel sayılandırması sayesinde her önermeyi bir sayıya eşlemiştik,
şimdi de ZFC ile her sayıyı bir kümeye eşledik. Gödel tüm biçimsel
sistemleri sayı kuramına eşlemişti, ZFC de her sayıyı kümelere eşledi.
Dolayısıyla tüm biçimsel sistemler kümeler kuramına eşlendi.

Bu eşyapısallık, bize biçimsel olarak iki yapıdan birinin diğerinin yerine
kullanılabileceğini söylüyor. O halde hayırlı olsun...

[*]: Bu kitapta Gödel sayılandırmasının farklı bir versiyonu var. Her
simgeye 3 rakamlı bir "kod" veriyordu. Sonra elde edilen Gödel sayılarının
DNA kodonlarına sezgisel olarak eşbiçimli olduğunu gösteriyordu. Çok daha
ilginç şeyler vardı ayrıca. Kitabı tavsiye ederim.
[**]: Ali Nesin'in ilk okuduğum yazısıdır (büyük tesadüf). Çok sevmiştim.
Hala da severim. Bu kadar sade anlatılamazdı, matematikle alakası olmayan
arkadaşlarıma bile okuttuğum ender yazılardandır.

Saygı Sevgi ve Mantık...

On 9/3/06, Ali ilik <aliilik at gmail.com> wrote:
>
> Herşeyi küme olarak göstermenin bir püf noktası var mıdır? Örneğin, MD
> 2006-I de sıralı ikili, fonksiyon küme olarak gösterilmişti. Daha doğrusu
> neden küme oldukları açıklanmıştı.
>
> Buradan hareketle, matematikte karşılaştığımız ya da öğrendiğimiz bir
> kavramı küme olarak gösterme, ya da neden küme olduğunu anlayabilme olgusu
> karşısında bunalım yaşayanlara önerisi olan var mı?
>
> Mesala, bir önerme nasıl bir kümedir?
>
> Bir grup, sıralı ikili olarak düşünülebileceğinden bir kümedir. Ör: (Z, +)
> yi bir küme olarak gösterebilirz. Çünkü toplama işlemi de bir fonksiyondur.
> Zaten işlemin tanımında fonksiyon var. İşlem fonskiyondan geliyor, bunu
> biliyoruz.
>
> Örneğin toplama ZXZ->Z bir işlemdir.
>
> O zaman F(a,b)=a+b olmak üzere + = f= (F, (ZXZ,Z)) ve (Z,+)=(Z,(F,
> (ZXZ,Z)))  yani,
> (Z,+)={{Z,(F, (ZXZ,Z))}, Z}={{Z,{{F, (ZXZ,Z)}, F}}, Z}={{Z,{{f}, F}},
> Z}  gösterimini yapabiliyoruz.
> (Bu gösterimin özünü kavrayabilmiş değilim! O parantezlerin büyüsünü
> anlamadan çok uzağım henüz. Yazıyorum ama haybeye!)
>
> Ya da bir karmaşık sayı da bir kümedir (karmaşık sayılar kümesinden
> bahsetmiyoruz! her karmaşık sayının bir küme olmasından bahsediyoruz.):
> z=a+ib => z=(a,b) olarak gösterebiliriz. (a,b de bir kümedir sıralı ikili
> olduğu için)
>
> Türev alma işlemi de bir kümedir. Çünkü türev alma işlemi bir
> fonksiyondur, fonksiyon da kümedir. Benzer şekilde integral alma işlemi de.
> Hatta diferansiyel işlemi de.
>
> Fakat iş başka kavramlara gelince zorlaşıyor hissiyatı uyanıyor. Mesela,
> bir çokgen nasıl bir kümedir? "Çokgen işte canım, küme zaten noktalar
> kümesi, bariz." türünden ifadeler durumu kurtarır mı?
>
> "Bir kümeye ilişkin kavramların" da bir küme olması o ilişkiye kümeler
> yardımıyla bir başka açıdan bakılabileceğini gösteriyor. Örneğin çember bir
> kümedir (ama nasıl bir küme?). Teğet, kiriş de bir kümedir (çünkü
> matematikte herşey kümedir!) O zaman bir venn diyagramıyla
> çember-teğet-kiriş ilişkisini görebilmeyi isterdim doğrusu! Teğetler
> kümesiyle kirişler kümesi ayrık olsa gerek! Çünkü hem teğet hem kiriş olan
> bir şey olamaz. Bu çok açık. Değilse de kanıtı:
>
> Bir çemberin bir teğeti bir doğrudur, kirişi ise doğru parçasıdır. Bir
> doğruyla doğru parçası aynı "şey"ler olmadıklarından, kirişle teğet de aynı
> "şey" değillerdir.
>
>
> --
> Ali İlik
> MDBursa Tanıtım Sitesi: http://mdbursa.googlepages.com/
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060904/66a0fcae/attachment.htm