Re: [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon

[OktayD]

Evet, Fermion cebiri (her ne kadar ne olduğunu öğrenmemiş olsam da), Lie
cebiri vs.. Bunlar kullanılıyor fermion ve bozonlar için ama tam olarak
öğrenmediğim için içeriklerini bilmiyorum. Belki de dual sayılar gerçekten
kullanılıyordur. Ama heyecanım matematik için değil, fizik içindi (fizik
okuyorum da). Fizikte cebirsel yapıların olması hep işi kolaylaştırmış ve
heyecanımı arttırmıştır :) Bu yapıları, analizden gelenlere tercih ederim!!

Bu arada Hocam, bir sorum var:
acaba dual sayılar için R[X]/<X^2> halkasını gösterdiğimiz gibi mesela
hiperbolik sayıları ya da quaternionları (türkçesi?) ifade edebilir miyiz?
Bu tür yapıların eşyapısal olduğu cebirsel yapıları hep merak etmişimdir.

Biraz bir şeyler baktım, denedim ama yeteri bilgim yoktu. Quaternion'lar
için 2x2 kare matrislerle olan bir şeyler hatırlıyorum (şu anda adını
yazarını hatırlamadığım bir soyut cebir kitabında, Jacobson sanırım).
Böylece birim quaternionlar e=[ [ i , 0] , [ 0 , -i] ] gibi 2x2 matrisler
oluyordu (buradaki i karmaşık birim ve matrisi [ [a_11, a_12], [a_21, a_22]
] olarak gösterdim).

Aynı şeyi hiperbolik sayılar için düşündüm ve şu birim elemana ulaştım: 1'=[
[1, 0], [0, 1] ] (bu quaternionlarda böyleydi, zaten birim matris) ve h=[ [
0, -1 ], [ 1, 0 ] ]. Burada gerçekten h^2=1' oluyor, ayrıca bunlar
z=a'1'+b'h yazımının biricik (unique) olmasını da sağlıyor. Bu tür şeyleri
genel/özel olarak bulabileceğim kaynak aradım ama bulamadım, genelde
quaternion'lar oluyor ama diğerlerinden bahis yok. Mesela bu yapıların
matrisli yapılar dışında da eşyapısal olduğu yapılar arıyorum. Sizin
verdiğiniz polinom halkası gibi. Belki de p-sel sayılarda bir eşyapı
bulunabilir...

Saygı Sevgi ve Mantık...

On 9/20/06, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
>  Evet, bu tur cebirler fizikte yararli olabilir. Fermion cebiri mi ne,
> oyle bir sey var (4 boyutlu) ve bu da onun (2 boyutlu) bir altcebiri galiba.
> Belki de yaniliyorum.
>
> Ama heyecanlanacak bir sey yok. Bu tur cebirler matematikte son derece
> siradandir.
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *OktayD
> *Sent:* Wednesday, September 20, 2006 12:28 AM
> *To:* Matematik Dünyası
> *Subject:* Re: [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon
>
>
>
> Merhabalar,
> Bu *i*x*i*=0 gibi bir şey mi? Ya da hiperbolik sayılardaki gibi *h*^2=1gibi?
> Yani her dual sayı z=a+εb şeklinde yazılan bir sayı ve ε 2=0 diye
> düşündüm. O zaman eşlenik gibi şeyler de tanımlı olsa gerek: z*=a-εb.
> Normu da vardır kesin: |z|2=zz*=(a+εb)(a-εb)=a2+εab-εab+b2ε2=a2.
>
> İlginç, ikinci koordinatı normunda yok olan bir küme (halka).
> Acaba bunun uygulama alanı var mı? Tam fiziklik bir şeye benziyor. Çünkü
> bu sayıların koordinat dönüşümlerinde ε2=0 ile b nin yok olması yararlı
> bir şeyler yapabilir. ε kısmının normda yok olması örneğin bir parçacığın
> bazı etkileşimlerde etkisiz bir fiziksel özelliğine denk gelebilir! O
> fiziksel özellikte gerçel kısmı olmayan dual sayılar (parçacıklar)
> birbiriyle etkileşmeyecektir. Birbirilerini görmeyeceklerdir bile! Buna uyan
> aklıma şimdilik bozonik ve fermiyonik özellikler geliyor. Fermiyon
> grubundaki parçacıklar aynı anda aynı yerde bulunamazken (yani
> karşılaştıklarında etkileşirken), bozonik parçacıklar birbirlerini hiç
> görmez, aynı anda aynı yerde iki tanesi olabilir. Buna benzer bir sürü şey
> var fizikte. Mutlaka bunlardan birinde kullanılmıştır (belki kütleçekimin
> diğer kuvvetlerle olan etkileşimi vs.). Heyecanlandım şimdi :)
>
> Saygı Sevgi ve Mantık...
>
>
>  On 9/15/06, *ali nesin* <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
> R[X]/<X^2> halkasindan baska bir sey degil, yani polinom halkasi gibi
> sadece X^2 yerine 0 yaz. (Bradaki X = epsilon).
>
> Asagidaki link'te bir hata olmali. "A dual number is a number [image:
> x+epsilony], where [image: x,y in R]and [image: epsilon]is a unit
> <http://mathworld.wolfram.com/Unit.html>with the property that [image:
> epsilon^2==0]. " yaziyor. Hem X bir "unit" hem de X^2 = 0 olamaz.
>
> Ali
>
>
>
>
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Ali ilik
> *Sent:* Friday, September 15, 2006 1:23 AM
> *To:* Matematik Dünyası
> *Subject:* [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon
>
>
>
> Bir lineer cebir kitabında (H. Hacısalihoğlu'nun kitabı) dual sayılarla
> ilgili bir bölümde epsion^2=0 eşitliğini sağlayan bir sayı gördüm. Bu sayı
> nasıl bir sayıdır? Epsilon=0 mı? Epsilon hangi kümenin elemanıdır?
>
>
>
> http://mathworld.wolfram.com/DualNumber.html
>
> http://mathworld.wolfram.com/Unit.html
>
>
>
> Adreslerine baktım, biraz kafa yorunca anlaşılabilir gözüküyor. Yine de o
> linklerden başka bir açılım getiren olur belki. Basit bir şekilde izah eden
> olursa sevinirim.
>
>
>
> Ali
>
> --
> MDBursa Tanıtım Sitesi: http://mdbursa.googlepages.com/
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
>
> --
> Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
>



-- 
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/10454436/attachment.htm 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image003.gif
Tür: image/gif
Boyut: 46 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/10454436/attachment.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image004.gif
Tür: image/gif
Boyut: 91 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/10454436/attachment-0001.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image002.gif
Tür: image/gif
Boyut: 114 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/10454436/attachment-0002.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image001.gif
Tür: image/gif
Boyut: 92 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/10454436/attachment-0003.gif