RE: [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon

20 Eyl 2006 Çar 18:38:12 EEST

Quaternionlar, yani Hamiltonionlar, kommutatif olmadiklarindan, bir polinom halkasinin bolumu olarak elde edilemezler. Ama karmasik sayilar elde edilebilirler: C = K[X]/<X^2+1>.

Karmasik sayilari, gecel sayilar uzerine 2 x 2 ebatli matrisler olarak gorulebilirler. Iste yontem:

C = R x R = R^2 olarak yaz ve Câ€™yi R uzerine 2 boyutlu vektor uzayi olarak gor. Ayrica bir de bir taban sec. Ornegin: e_1 = (1, 0) ve e_2 = (0, 1).

a, herhangi bir karmasik sayi olsun. 

f_a : C --> C fonksiyonu f_a(x) = ax olarak tanimlansin.

O zaman f_a, lineer bir fonksiyondur. Yani toplamsaldir (f_a(x+y) = f_a(x) + f_a(y)) ve gercel sayilarla carpmaya saygi duyar (f_a(rx) = rf_a(x)).

Dolayisiyla f_aâ€™nin (yukarda secilen e_1, e_2 tabaninda yazilmis) bir matrisi vardir. Bu matrise M(a) diyelim. M(a), 2 x 2 ebatli bir matristir.

Kolaylikla kontrol edilecegi uzere f_{a+b} = f_a + f_b ve f_{ab} = f_a o f_b. (Burada o, fonksiyonlarin bileskesi anlamina gelmektedir.)

Demek ki M(a+b) = M(a) + M(b) ve M(ab) = M(a)M(b).

Simdi M, Câ€™den 2x2 gercel matrislere giden bir fonksiyondur, ayrica birebirdir ve ayrica toplamaya ve carpmaya saygi duyar. Dolayisiyla C, imgesine izomorfiktir, yani 2 x 2 gercel matrislerin 2 boyutlu bir altcebirine.

Ayni seyi H icin de yapabiliriz.

O zaman H, 4 x 4 gercel matrislerin 4 boyutlu bir altcebirine izomorf olur.

H icin daha ilginc bir sey yapabilirsiniz:

H = R + Ri + Rj + Rk = R + Ri + Rj + Rij = (R + Ri) + (R + Ri)j = C + Cj.

Dolayisiyla H, C uzerine 2 boyutlu bir vektor uzayidir. Yalniz dikkat, H komutatif olmadigindan, burada Hâ€™yi bir sol vektor uzayi olarak gormekte yarar var. Yani bir x karmasik sayisiyla bir a Hamilton sayisini, xa olarak carpalim, ax olarak degil.

Simdi her a Hamilton sayisi icin f_a : H --> H fonksiyonu f_a(x) = xa olarak tanimlansin (ax olarak degil!).

C ve R icin yaptiklarimizi simdi H ve C icin yapalim. Boylece H, 2 x 2 karmasik matrislerin 2 boyutlu bir altuzayi olarak gorulebilir.

Ali

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of OktayD
Sent: Wednesday, September 20, 2006 6:20 PM
To: Matematik DÃ¼nyasÄ±
Subject: Re: [MD-sorular] dual sayÄ±lar ve epsilon

Evet, Fermion cebiri (her ne kadar ne olduÄŸunu Ã¶ÄŸrenmemiÅŸ olsam da), Lie cebiri vs.. Bunlar kullanÄ±lÄ±yor fermion ve bozonlar iÃ§in ama tam olarak Ã¶ÄŸrenmediÄŸim iÃ§in iÃ§eriklerini bilmiyorum. Belki de dual sayÄ±lar gerÃ§ekten kullanÄ±lÄ±yordur. Ama heyecanÄ±m matematik iÃ§in deÄŸil, fizik iÃ§indi (fizik okuyorum da). Fizikte cebirsel yapÄ±larÄ±n olmasÄ± hep iÅŸi kolaylaÅŸtÄ±rmÄ±ÅŸ ve heyecanÄ±mÄ± arttÄ±rmÄ±ÅŸtÄ±r :) Bu yapÄ±larÄ±, analizden gelenlere tercih ederim!! 

Bu arada Hocam, bir sorum var:
acaba dual sayÄ±lar iÃ§in R[X]/<X^2> halkasÄ±nÄ± gÃ¶sterdiÄŸimiz gibi mesela hiperbolik sayÄ±larÄ± ya da quaternionlarÄ± (tÃ¼rkÃ§esi?) ifade edebilir miyiz? Bu tÃ¼r yapÄ±larÄ±n eÅŸyapÄ±sal olduÄŸu cebirsel yapÄ±larÄ± hep merak etmiÅŸimdir. 

Biraz bir ÅŸeyler baktÄ±m, denedim ama yeteri bilgim yoktu. Quaternion'lar iÃ§in 2x2 kare matrislerle olan bir ÅŸeyler hatÄ±rlÄ±yorum (ÅŸu anda adÄ±nÄ± yazarÄ±nÄ± hatÄ±rlamadÄ±ÄŸÄ±m bir soyut cebir kitabÄ±nda, Jacobson sanÄ±rÄ±m). BÃ¶ylece birim quaternionlar e=[ [ i , 0] , [ 0 , -i] ] gibi 2x2 matrisler oluyordu (buradaki i karmaÅŸÄ±k birim ve matrisi [ [a_11, a_12], [a_21, a_22] ] olarak gÃ¶sterdim). 

AynÄ± ÅŸeyi hiperbolik sayÄ±lar iÃ§in dÃ¼ÅŸÃ¼ndÃ¼m ve ÅŸu birim elemana ulaÅŸtÄ±m: 1'=[ [1, 0], [0, 1] ] (bu quaternionlarda bÃ¶yleydi, zaten birim matris) ve h=[ [ 0, -1 ], [ 1, 0 ] ]. Burada gerÃ§ekten h^2=1' oluyor, ayrÄ±ca bunlar z=a'1'+b'h yazÄ±mÄ±nÄ±n biricik (unique) olmasÄ±nÄ± da saÄŸlÄ±yor. Bu tÃ¼r ÅŸeyleri genel/Ã¶zel olarak bulabileceÄŸim kaynak aradÄ±m ama bulamadÄ±m, genelde quaternion'lar oluyor ama diÄŸerlerinden bahis yok. Mesela bu yapÄ±larÄ±n matrisli yapÄ±lar dÄ±ÅŸÄ±nda da eÅŸyapÄ±sal olduÄŸu yapÄ±lar arÄ±yorum. Sizin verdiÄŸiniz polinom halkasÄ± gibi. Belki de p-sel sayÄ±larda bir eÅŸyapÄ± bulunabilir... 

SaygÄ± Sevgi ve MantÄ±k...

On 9/20/06, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:

Evet, bu tur cebirler fizikte yararli olabilir. Fermion cebiri mi ne, oyle bir sey var (4 boyutlu) ve bu da onun (2 boyutlu) bir altcebiri galiba. Belki de yaniliyorum.

Ama heyecanlanacak bir sey yok. Bu tur cebirler matematikte son derece siradandir.

Ali

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of OktayD
Sent: Wednesday, September 20, 2006 12:28 AM
To: Matematik DÃ¼nyasÄ±
Subject: Re: [MD-sorular] dual sayÄ±lar ve epsilon

Merhabalar,
Bu ixi=0 gibi bir ÅŸey mi? Ya da hiperbolik sayÄ±lardaki gibi h^2=1gibi? Yani her dual sayÄ± z=a+Îµb ÅŸeklinde yazÄ±lan bir sayÄ± ve Îµ 2=0 diye dÃ¼ÅŸÃ¼ndÃ¼m. O zaman eÅŸlenik gibi ÅŸeyler de tanÄ±mlÄ± olsa gerek: z*=a-Îµb.
Normu da vardÄ±r kesin: |z|2=zz*=(a+Îµb)(a-Îµb)=a2+Îµab-Îµab+b2Îµ2=a2.

Ä°lginÃ§, ikinci koordinatÄ± normunda yok olan bir kÃ¼me (halka). 
Acaba bunun uygulama alanÄ± var mÄ±? Tam fiziklik bir ÅŸeye benziyor. Ã‡Ã¼nkÃ¼ bu sayÄ±larÄ±n koordinat dÃ¶nÃ¼ÅŸÃ¼mlerinde Îµ2=0 ile b nin yok olmasÄ± yararlÄ± bir ÅŸeyler yapabilir. Îµ kÄ±smÄ±nÄ±n normda yok olmasÄ± Ã¶rneÄŸin bir parÃ§acÄ±ÄŸÄ±n bazÄ± etkileÅŸimlerde etkisiz bir fiziksel Ã¶zelliÄŸine denk gelebilir! O fiziksel Ã¶zellikte gerÃ§el kÄ±smÄ± olmayan dual sayÄ±lar (parÃ§acÄ±klar) birbiriyle etkileÅŸmeyecektir. Birbirilerini gÃ¶rmeyeceklerdir bile! Buna uyan aklÄ±ma ÅŸimdilik bozonik ve fermiyonik Ã¶zellikler geliyor. Fermiyon grubundaki parÃ§acÄ±klar aynÄ± anda aynÄ± yerde bulunamazken (yani karÅŸÄ±laÅŸtÄ±klarÄ±nda etkileÅŸirken), bozonik parÃ§acÄ±klar birbirlerini hiÃ§ gÃ¶rmez, aynÄ± anda aynÄ± yerde iki tanesi olabilir. Buna benzer bir sÃ¼rÃ¼ ÅŸey var fizikte. Mutlaka bunlardan birinde kullanÄ±lmÄ±ÅŸtÄ±r (belki kÃ¼tleÃ§ekimin diÄŸer kuvvetlerle olan etkileÅŸimi vs.). HeyecanlandÄ±m ÅŸimdi :) 

SaygÄ± Sevgi ve MantÄ±k...

On 9/15/06, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:

R[X]/<X^2> halkasindan baska bir sey degil, yani polinom halkasi gibi sadece X^2 yerine 0 yaz. (Bradaki X = epsilon).

Asagidaki link'te bir hata olmali. "A dual number is a number x+epsilony, where x,y in Rand epsilonis a unit  <http://mathworld.wolfram.com/Unit.html> with the property that epsilon^2==0. " yaziyor. Hem X bir "unit" hem de X^2 = 0 olamaz.

Ali

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Ali ilik
Sent: Friday, September 15, 2006 1:23 AM
To: Matematik DÃ¼nyasÄ±
Subject: [MD-sorular] dual sayÄ±lar ve epsilon

Bir lineer cebir kitabÄ±nda (H. HacÄ±salihoÄŸlu'nun kitabÄ±) dual sayÄ±larla ilgili bir bÃ¶lÃ¼mde epsion^2=0 eÅŸitliÄŸini saÄŸlayan bir sayÄ± gÃ¶rdÃ¼m. Bu sayÄ± nasÄ±l bir sayÄ±dÄ±r? Epsilon=0 mÄ±? Epsilon hangi kÃ¼menin elemanÄ±dÄ±r?

http://mathworld.wolfram.com/DualNumber.html 

http://mathworld.wolfram.com/Unit.html 

Adreslerine baktÄ±m, biraz kafa yorunca anlaÅŸÄ±labilir gÃ¶zÃ¼kÃ¼yor. Yine de o linklerden baÅŸka bir aÃ§Ä±lÄ±m getiren olur belki. Basit bir ÅŸekilde izah eden olursa sevinirim.

Ali

-- 
MDBursa TanÄ±tÄ±m Sitesi: http://mdbursa.googlepages.com/ 

_______________________________________________
MD-sorular mailing list
MD-sorular at matematikdunyasi.org 
http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular

-- 
Bir G tamdeyimi: "Ben kanÄ±tlanamam."

-- 
Bir G tamdeyimi: "Ben kanÄ±tlanamam."

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/5ae3c906/attachment.htm 
-------------- sonraki bölüm --------------
YazÄ± olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: kullanÄ±lamÄ±yor
TÃ¼r: image/gif
Boyut: 92 bayt
TanÄ±m: kullanÄ±lamÄ±yor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/5ae3c906/attachment.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
YazÄ± olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: kullanÄ±lamÄ±yor
TÃ¼r: image/gif
Boyut: 114 bayt
TanÄ±m: kullanÄ±lamÄ±yor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/5ae3c906/attachment-0001.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
YazÄ± olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: kullanÄ±lamÄ±yor
TÃ¼r: image/gif
Boyut: 46 bayt
TanÄ±m: kullanÄ±lamÄ±yor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/5ae3c906/attachment-0002.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
YazÄ± olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: kullanÄ±lamÄ±yor
TÃ¼r: image/gif
Boyut: 91 bayt
TanÄ±m: kullanÄ±lamÄ±yor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/5ae3c906/attachment-0003.gif 