Re: [MD-sorular] dual sayýlar ve epsilon

OktayD oktayd at belgeci.com
20 Eyl 2006 Çar 19:21:12 EEST


O zaman bir polinom halkaya eşyapısal olduğunu görmemiz için değişmeli bir
yapı üzerine eğilebiliriz!! Burada G diye (H ye benzeyen) bir küme
tanımlayalım, değişmeli olmasını istiyorum ama.

G=C+jC=(R+iR)+j(R+iR)=R+iR+jR+(ij)R=R+iR+jR+kR
Halkanın birimlerle olan çarpma işlemini değişmeli yapalım:
k=ij=ji
bu durumda i^2=j^2=-1 ve k^2=(ij)^2=1 olacak doğal olarak. Bu halkada iki üç
eşlenik-gibi fonksiyon tanımlanabilir sanırım.

matrislerde bir eşyapı ararsak kolaylıkla (deneme yanılmayla buldum :)))
1'=diag(1,1), i'=diag(i,i), j'=diag(i,-i)
ve buradan k'=i'j'=diag(-1,1) olduğu görülüyor (diag: köşegen boyuncaki
elemanlar, diğer elemanlar sıfır). Bu hiperbolik sayıların karmaşık sayılar
üzerinde olanına da eşyapısal:
i^2=-1 ve h^2=1 olsun. O halde buradan j=ih=hi ve j^2=(ih)^2=-1 bulunur vs..
vs..

Polinomlarda heralde G=C[X]/<X^2+1> olsa gerek...

Saygı Sevgi ve Mantık...

On 9/20/06, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
>
>
> Quaternionlar, yani Hamiltonionlar, kommutatif olmadiklarindan, bir
> polinom halkasinin bolumu olarak elde edilemezler. Ama karmasik sayilar elde
> edilebilirler: C = K[X]/<X^2+1>.
>
>
>
> Karmasik sayilari, gecel sayilar uzerine 2 x 2 ebatli matrisler olarak
> gorulebilirler. Iste yontem:
>
> C = R x R = R^2 olarak yaz ve C'yi R uzerine 2 boyutlu vektor uzayi olarak
> gor. Ayrica bir de bir taban sec. Ornegin: e_1 = (1, 0) ve e_2 = (0, 1).
>
> a, herhangi bir karmasik sayi olsun.
>
> f_a : C à C fonksiyonu f_a(x) = ax olarak tanimlansin.
>
> O zaman f_a, lineer bir fonksiyondur. Yani toplamsaldir (f_a(x+y) = f_a(x)
> + f_a(y)) ve gercel sayilarla carpmaya saygi duyar (f_a(rx) = rf_a(x)).
>
> Dolayisiyla f_a'nin (yukarda secilen e_1, e_2 tabaninda yazilmis) bir
> matrisi vardir. Bu matrise M(a) diyelim. M(a), 2 x 2 ebatli bir matristir.
>
> Kolaylikla kontrol edilecegi uzere f_{a+b} = f_a + f_b ve f_{ab} = f_a o
> f_b. (Burada o, fonksiyonlarin bileskesi anlamina gelmektedir.)
>
> Demek ki M(a+b) = M(a) + M(b) ve M(ab) = M(a)M(b).
>
> Simdi M, C'den 2x2 gercel matrislere giden bir fonksiyondur, ayrica
> birebirdir ve ayrica toplamaya ve carpmaya saygi duyar. Dolayisiyla C,
> imgesine izomorfiktir, yani 2 x 2 gercel matrislerin 2 boyutlu bir
> altcebirine.
>
>
>
> Ayni seyi H icin de yapabiliriz.
>
> O zaman H, 4 x 4 gercel matrislerin 4 boyutlu bir altcebirine izomorf
> olur.
>
>
>
> H icin daha ilginc bir sey yapabilirsiniz:
>
> H = R + Ri + Rj + Rk = R + Ri + Rj + Rij = (R + Ri) + (R + Ri)j = C + Cj.
>
> Dolayisiyla H, C uzerine 2 boyutlu bir vektor uzayidir. Yalniz dikkat, H
> komutatif olmadigindan, burada H'yi bir sol vektor uzayi olarak gormekte
> yarar var. Yani bir x karmasik sayisiyla bir a Hamilton sayisini, xa olarak
> carpalim, ax olarak degil.
>
> Simdi her a Hamilton sayisi icin f_a : H à H fonksiyonu f_a(x) = xa olarak
> tanimlansin (ax olarak degil!).
>
> C ve R icin yaptiklarimizi simdi H ve C icin yapalim. Boylece H, 2 x 2
> karmasik matrislerin 2 boyutlu bir altuzayi olarak gorulebilir.
>
>
>
> Ali
>
>
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *OktayD
> *Sent:* Wednesday, September 20, 2006 6:20 PM
>
> *To:* Matematik Dünyası
> *Subject:* Re: [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon
>
>
>
> Evet, Fermion cebiri (her ne kadar ne olduğunu öğrenmemiş olsam da), Lie
> cebiri vs.. Bunlar kullanılıyor fermion ve bozonlar için ama tam olarak
> öğrenmediğim için içeriklerini bilmiyorum. Belki de dual sayılar gerçekten
> kullanılıyordur. Ama heyecanım matematik için değil, fizik içindi (fizik
> okuyorum da). Fizikte cebirsel yapıların olması hep işi kolaylaştırmış ve
> heyecanımı arttırmıştır :) Bu yapıları, analizden gelenlere tercih ederim!!
>
> Bu arada Hocam, bir sorum var*:
> *acaba dual sayılar için *R[X]/<X^2>* halkasını gösterdiğimiz gibi mesela
> hiperbolik sayıları ya da quaternionları (türkçesi?) ifade edebilir miyiz?
> Bu tür yapıların eşyapısal olduğu cebirsel yapıları hep merak etmişimdir.
>
> Biraz bir şeyler baktım, denedim ama yeteri bilgim yoktu. Quaternion'lar
> için 2x2 kare matrislerle olan bir şeyler hatırlıyorum (şu anda adını
> yazarını hatırlamadığım bir soyut cebir kitabında, Jacobson sanırım).
> Böylece birim quaternionlar *e=[ [ i , 0] , [ 0 , -i] ]* gibi 2x2
> matrisler oluyordu (buradaki i karmaşık birim ve matrisi [ [a_11, a_12],
> [a_21, a_22] ] olarak gösterdim).
>
> Aynı şeyi hiperbolik sayılar için düşündüm ve şu birim elemana ulaştım: *1'=[
> [1, 0], [0, 1] ]* (bu quaternionlarda böyleydi, zaten birim matris) ve *h=[
> [ 0, -1 ], [ 1, 0 ] ]*. Burada gerçekten *h^2=1'* oluyor, ayrıca bunlar *
> z=a'1'+b'h* yazımının biricik (unique) olmasını da sağlıyor. Bu tür
> şeyleri genel/özel olarak bulabileceğim kaynak aradım ama bulamadım, genelde
> quaternion'lar oluyor ama diğerlerinden bahis yok. Mesela bu yapıların
> matrisli yapılar dışında da eşyapısal olduğu yapılar arıyorum. Sizin
> verdiğiniz polinom halkası gibi. Belki de p-sel sayılarda bir eşyapı
> bulunabilir...
>
> Saygı Sevgi ve Mantık...
>
> On 9/20/06, *ali nesin* <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
> Evet, bu tur cebirler fizikte yararli olabilir. Fermion cebiri mi ne, oyle
> bir sey var (4 boyutlu) ve bu da onun (2 boyutlu) bir altcebiri galiba.
> Belki de yaniliyorum.
>
> Ama heyecanlanacak bir sey yok. Bu tur cebirler matematikte son derece
> siradandir.
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *OktayD
> *Sent:* Wednesday, September 20, 2006 12:28 AM
> *To:* Matematik Dünyası
> *Subject:* Re: [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon
>
>
>
> Merhabalar,
> Bu *i*x*i*=0 gibi bir şey mi? Ya da hiperbolik sayılardaki gibi *h*^2=1gibi?
> Yani her dual sayı z=a+εb şeklinde yazılan bir sayı ve ε 2=0 diye
> düşündüm. O zaman eşlenik gibi şeyler de tanımlı olsa gerek: z*=a-εb.
> Normu da vardır kesin: |z|2=zz*=(a+εb)(a-εb)=a2+εab-εab+b2ε2=a2.
>
> İlginç, ikinci koordinatı normunda yok olan bir küme (halka).
> Acaba bunun uygulama alanı var mı? Tam fiziklik bir şeye benziyor. Çünkü
> bu sayıların koordinat dönüşümlerinde ε2=0 ile b nin yok olması yararlı
> bir şeyler yapabilir. ε kısmının normda yok olması örneğin bir parçacığın
> bazı etkileşimlerde etkisiz bir fiziksel özelliğine denk gelebilir! O
> fiziksel özellikte gerçel kısmı olmayan dual sayılar (parçacıklar)
> birbiriyle etkileşmeyecektir. Birbirilerini görmeyeceklerdir bile! Buna uyan
> aklıma şimdilik bozonik ve fermiyonik özellikler geliyor. Fermiyon
> grubundaki parçacıklar aynı anda aynı yerde bulunamazken (yani
> karşılaştıklarında etkileşirken), bozonik parçacıklar birbirlerini hiç
> görmez, aynı anda aynı yerde iki tanesi olabilir. Buna benzer bir sürü şey
> var fizikte. Mutlaka bunlardan birinde kullanılmıştır (belki kütleçekimin
> diğer kuvvetlerle olan etkileşimi vs.). Heyecanlandım şimdi :)
>
> Saygı Sevgi ve Mantık...
>
>  On 9/15/06, *ali nesin* <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
> R[X]/<X^2> halkasindan baska bir sey degil, yani polinom halkasi gibi
> sadece X^2 yerine 0 yaz. (Bradaki X = epsilon).
>
> Asagidaki link'te bir hata olmali. "A dual number is a number [image:
> x+epsilony], where [image: x,y in R]and [image: epsilon]is a unit
> <http://mathworld.wolfram.com/Unit.html>with the property that [image:
> epsilon^2==0]. " yaziyor. Hem X bir "unit" hem de X^2 = 0 olamaz.
>
> Ali
>
>
>
>
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Ali ilik
> *Sent:* Friday, September 15, 2006 1:23 AM
> *To:* Matematik Dünyası
> *Subject:* [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon
>
>
>
> Bir lineer cebir kitabında (H. Hacısalihoğlu'nun kitabı) dual sayılarla
> ilgili bir bölümde epsion^2=0 eşitliğini sağlayan bir sayı gördüm. Bu sayı
> nasıl bir sayıdır? Epsilon=0 mı? Epsilon hangi kümenin elemanıdır?
>
>
>
> http://mathworld.wolfram.com/DualNumber.html
>
> http://mathworld.wolfram.com/Unit.html
>
>
>
> Adreslerine baktım, biraz kafa yorunca anlaşılabilir gözüküyor. Yine de o
> linklerden başka bir açılım getiren olur belki. Basit bir şekilde izah eden
> olursa sevinirim.
>
>
>
> Ali
>
> --
> MDBursa Tanıtım Sitesi: http://mdbursa.googlepages.com/
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
>
> --
> Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
>
>
>
>
> --
> Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
>



-- 
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/b4d6c07f/attachment.htm 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image003.gif
Tür: image/gif
Boyut: 46 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/b4d6c07f/attachment.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image002.gif
Tür: image/gif
Boyut: 114 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/b4d6c07f/attachment-0001.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image004.gif
Tür: image/gif
Boyut: 91 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/b4d6c07f/attachment-0002.gif 
-------------- sonraki bölüm --------------
Yazı olmayan bir eklenti temizlendi...
Ä°sim: image001.gif
Tür: image/gif
Boyut: 92 bayt
Tanım: kullanılamıyor
Url: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060920/b4d6c07f/attachment-0003.gif 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi