Fwd: [MD-sorular] dual sayılar ve epsilon

[OktayD]

[bu mesaj listeye gitmemiş sanırım, çünkü geri geldi, nedeni 40KB kadar
büyük (!) bir mesaj olmasıymış. Baktım fazlalık olarak önceden atılmış
iletilerin alıntılarını içeriyormuş... silip yeniden gönderiyorum]

O zaman bir polinom halkaya eşyapısal olduğunu görmemiz için değişmeli bir
yapı üzerine eğilebiliriz!! Burada G diye (H ye benzeyen) bir küme
tanımlayalım, değişmeli olmasını istiyorum ama.

G=C+jC=(R+iR)+j(R+iR)=R+iR+jR+(ij)R=R+iR+jR+kR
Halkanın birimlerle olan çarpma işlemini değişmeli yapalım:
k=ij=ji
bu durumda i^2=j^2=-1 ve k^2=(ij)^2=1 olacak doğal olarak. Bu halkada iki üç
eşlenik-gibi fonksiyon tanımlanabilir sanırım.

matrislerde bir eşyapı ararsak kolaylıkla (deneme yanılmayla buldum :)))
1'=diag(1,1), i'=diag(i,i), j'=diag(i,-i)
ve buradan k'=i'j'=diag(-1,1) olduğu görülüyor (diag: köşegen boyuncaki
elemanlar, diğer elemanlar sıfır). Bu hiperbolik sayıların karmaşık sayılar
üzerinde olanına da eşyapısal:
i^2=-1 ve h^2=1 olsun. O halde buradan j=ih=hi ve j^2=(ih)^2=-1 bulunur vs..
vs..

Polinomlarda heralde G=C[X]/<X^2+1> olsa gerek...

Saygı Sevgi ve Mantık...

On 9/20/06, ali nesin < anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
>
>
> Quaternionlar, yani Hamiltonionlar, kommutatif olmadiklarindan, bir
> polinom halkasinin bolumu olarak elde edilemezler. Ama karmasik sayilar elde
> edilebilirler: C = K[X]/<X^2+1>.
>
>
>
> Karmasik sayilari, gecel sayilar uzerine 2 x 2 ebatli matrisler olarak
> gorulebilirler. Iste yontem:
>
> C = R x R = R^2 olarak yaz ve C'yi R uzerine 2 boyutlu vektor uzayi olarak
> gor. Ayrica bir de bir taban sec. Ornegin: e_1 = (1, 0) ve e_2 = (0, 1).
>
> a, herhangi bir karmasik sayi olsun.
>
> f_a : C à C fonksiyonu f_a(x) = ax olarak tanimlansin.
>
> O zaman f_a, lineer bir fonksiyondur. Yani toplamsaldir (f_a(x+y) = f_a(x)
> + f_a(y)) ve gercel sayilarla carpmaya saygi duyar (f_a(rx) = rf_a(x)).
>
> Dolayisiyla f_a'nin (yukarda secilen e_1, e_2 tabaninda yazilmis) bir
> matrisi vardir. Bu matrise M(a) diyelim. M(a), 2 x 2 ebatli bir matristir.
>
> Kolaylikla kontrol edilecegi uzere f_{a+b} = f_a + f_b ve f_{ab} = f_a o
> f_b. (Burada o, fonksiyonlarin bileskesi anlamina gelmektedir.)
>
> Demek ki M(a+b) = M(a) + M(b) ve M(ab) = M(a)M(b).
>
> Simdi M, C'den 2x2 gercel matrislere giden bir fonksiyondur, ayrica
> birebirdir ve ayrica toplamaya ve carpmaya saygi duyar. Dolayisiyla C,
> imgesine izomorfiktir, yani 2 x 2 gercel matrislerin 2 boyutlu bir
> altcebirine.
>
>
>
> Ayni seyi H icin de yapabiliriz.
>
> O zaman H, 4 x 4 gercel matrislerin 4 boyutlu bir altcebirine izomorf
> olur.
>
>
>
> H icin daha ilginc bir sey yapabilirsiniz:
>
> H = R + Ri + Rj + Rk = R + Ri + Rj + Rij = (R + Ri) + (R + Ri)j = C + Cj.
>
> Dolayisiyla H, C uzerine 2 boyutlu bir vektor uzayidir. Yalniz dikkat, H
> komutatif olmadigindan, burada H'yi bir sol vektor uzayi olarak gormekte
> yarar var. Yani bir x karmasik sayisiyla bir a Hamilton sayisini, xa olarak
> carpalim, ax olarak degil.
>
> Simdi her a Hamilton sayisi icin f_a : H à H fonksiyonu f_a(x) = xa olarak
> tanimlansin (ax olarak degil!).
>
> C ve R icin yaptiklarimizi simdi H ve C icin yapalim. Boylece H, 2 x 2
> karmasik matrislerin 2 boyutlu bir altuzayi olarak gorulebilir.
>
>
>
> Ali
>

-- 
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060921/4621ae89/attachment.htm