Re: [MD-sorular] çözümleri tamsayı olan denklemleri

[E. Mehmet Kıral]

NOT: Muhtemelen rasyonel nokta çözümleri için (x = 0, y = 1,-1 ve x =
3, y = -11,11 demek istediniz. y^2 değil.)

Aslında denklemimiz y^2 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Ya da en azından
önce bu denklemle uğraşıp sonra x = 1 durumunu gözardı ederiz, 0/0
olmasın diye.

Mordell'in bir teoremine göre "y^2 = x'in 4. dereceden polinomu" olan
eğriler (çözüm kümesi bir eğri veriyor) çift taraflı kesirli
dönüşümler altında y^2 = x'in 3. dereceden polinomu" şeklinde yazılan
bir eğriye denk (birationally equivalent). Eğer eğrinin üzerinde bir
tane rasyonel nokta barınıyorsa.

Şimdi y^2 = ax^3 + bx + c denk bir eğri olsun. (x^2'li terimi yok
edebiliriz kolaylıkla)
Şimdi bu eğriyi elde ederken kullanmış olduğumuz dönüşümleri rasyonel
noktalara da uygulayalım ve P1 = (x_1, y_1) ve P2 = (x_2, y_2)
diyelim. Diğer iki noktaya şimdilik pek ihtiyacımız olmayacak.

Şimdi iki noktadan bir doğru geçirin. Karşımızda bir kübik olduğundan
doğrumuz eğriyi 3. kere daha kesecektir. Eğrimizin rasyonel bir eğimi
olacak, diyelim m. Ayrıca y eksenini de rasyonel bir d noktasında
kesecek. y = mx + d denklemini kübiğin içine sokarsak;
(mx + d)^2 = ax^3 + bx + c ==> 0 = ax^3 - m^2x^2 + (b - 2md)x + c.
Bu denklemin köklerinin toplamı m^2 oluyor, ancak bu rasyonel. İlk iki
kök x_1 ve x_2 de rasyonel olduğuna göre o zaman yeni kök x_3 de
rasyonel olacak. Ayrıca d rasyoneldi, demek ki y_3 = mx_3 + d sayısı
da rasyonel. P3 = (x_3,y_3) noktası bize farklı bir nokta veriyor.
Eğer noktalarınız üstüste değilse (o zaman da sonsuzdaki noktayı
veriyor bu yöntem) yeni bir nokta elde edersiniz. Böyle böyle sonsuz
nokta elde edip edemeyeceğinizi söyleyemem (ben söyleyemem, belki bir
başkası söyler). Ama en azından bir rasyonel nokta daha elde
edeceğiniz garanti.

Ancak siz tamsayı koordinatlı nokta sormuşsunuz. Özür dilerim.


2007/4/1, Ayhan Dil <adil at akdeniz.edu.tr>:
> Merhaba,
>
> (x^5-1)/(x-1)=y^2
>
> (yani x'in 5. kuvveti - 1) bölü ( x-1)= y'nin karesi
>
> denkleminin tamsayılarda çözümleri var mıdır, varsa kaç tanedir? Ya da
> çözümler için bir üst sınır bulabilir miyiz? Mesela max (|x|,|y|)< C gibi
> bir C sabiti var mıdır?
>
> Not: dört tane çözümünü,
>
>  {x=0, y^2= -1,1}  ve {x=3,  y^2= 11,-11} olarak buldum ama bunlardan başka
> çözümleri var mı acaba?
>
> Teşekkürler
>
> Ayhan Dil
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>


-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.