Re: [MD-sorular] çözümleri tamsayı olan denklemleri

Ayhan Dil adil at akdeniz.edu.tr
1 Nis 2007 Paz 14:30:53 EEST


   Rasyonel çözümler için yaptığınız yorum gerçekten güzel teşekkür ederim. 
Sizin uğraştığınız daha zor bir problem. Bu arada çözümü buldum sanırım 
(tabii bu arada derken uzun zamandır bu problem elimde tam çözümü şimdi elde 
ettim )

dediğiniz gibi denklem aslında
                                               y^2 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
şekline getirilebilir.

şimdi her iki tarafı 4 ile çarpalım; bu durumda

                                             (2y)^2 = 4x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 
4x + 4 .................................(1)
olur.

şimdi sağ taraftaki ifade (2x^2+x)^2 ile  (2x^2+x+1)^2 değerlerinin 
arasındadır ama bir şartla x, [-1,3] aralığında olmamak üzere.

ancak bunu sağlayan x'ler için   (2x^2+x)^2 < (2y)^2 <  (2x^2+x+1)^2
olmalıdır. Yani 2y tamsayısının karesi ardışık iki tamsayının karelerinin 
arasında olmalıdır. Böyle bir 2y tamsayısı yoktur. Dolayısıyla bahsedilen 
bölgede  (1) eşitliğini sağlayan tamsayı çifleri yoktur.
Geriye sadece [-1,3] aralığındaki tamsayıları kontrol etmek kaldı. Buradan 
ise (-1,-1), (-1,1), (0,-1), (0,1), (3,-11),(3,11)  şeklinde 6 tane çözüm 
elde edilir.
Gözden kaçırdığım bir yer varsa uyarılarınızı beklerim.,
Teşekkürler
Ayhan Dil

.
----- Original Message ----- 
From: "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com>
To: "Ayhan Dil" <adil at akdeniz.edu.tr>
Cc: <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Sunday, April 01, 2007 12:22 PM
Subject: Re: [MD-sorular] çözümleri tamsayı olan denklemleri


> NOT: Muhtemelen rasyonel nokta çözümleri için (x = 0, y = 1,-1 ve x =
> 3, y = -11,11 demek istediniz. y^2 değil.)
>
> Aslında denklemimiz y^2 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Ya da en azından
> önce bu denklemle uğraşıp sonra x = 1 durumunu gözardı ederiz, 0/0
> olmasın diye.
>
> Mordell'in bir teoremine göre "y^2 = x'in 4. dereceden polinomu" olan
> eğriler (çözüm kümesi bir eğri veriyor) çift taraflı kesirli
> dönüşümler altında y^2 = x'in 3. dereceden polinomu" şeklinde yazılan
> bir eğriye denk (birationally equivalent). Eğer eğrinin üzerinde bir
> tane rasyonel nokta barınıyorsa.
>
> Şimdi y^2 = ax^3 + bx + c denk bir eğri olsun. (x^2'li terimi yok
> edebiliriz kolaylıkla)
> Şimdi bu eğriyi elde ederken kullanmış olduğumuz dönüşümleri rasyonel
> noktalara da uygulayalım ve P1 = (x_1, y_1) ve P2 = (x_2, y_2)
> diyelim. Diğer iki noktaya şimdilik pek ihtiyacımız olmayacak.
>
> Şimdi iki noktadan bir doğru geçirin. Karşımızda bir kübik olduğundan
> doğrumuz eğriyi 3. kere daha kesecektir. Eğrimizin rasyonel bir eğimi
> olacak, diyelim m. Ayrıca y eksenini de rasyonel bir d noktasında
> kesecek. y = mx + d denklemini kübiğin içine sokarsak;
> (mx + d)^2 = ax^3 + bx + c ==> 0 = ax^3 - m^2x^2 + (b - 2md)x + c.
> Bu denklemin köklerinin toplamı m^2 oluyor, ancak bu rasyonel. İlk iki
> kök x_1 ve x_2 de rasyonel olduğuna göre o zaman yeni kök x_3 de
> rasyonel olacak. Ayrıca d rasyoneldi, demek ki y_3 = mx_3 + d sayısı
> da rasyonel. P3 = (x_3,y_3) noktası bize farklı bir nokta veriyor.
> Eğer noktalarınız üstüste değilse (o zaman da sonsuzdaki noktayı
> veriyor bu yöntem) yeni bir nokta elde edersiniz. Böyle böyle sonsuz
> nokta elde edip edemeyeceğinizi söyleyemem (ben söyleyemem, belki bir
> başkası söyler). Ama en azından bir rasyonel nokta daha elde
> edeceğiniz garanti.
>
> Ancak siz tamsayı koordinatlı nokta sormuşsunuz. Özür dilerim.
>
>
> 2007/4/1, Ayhan Dil <adil at akdeniz.edu.tr>:
>> Merhaba,
>>
>> (x^5-1)/(x-1)=y^2
>>
>> (yani x'in 5. kuvveti - 1) bölü ( x-1)= y'nin karesi
>>
>> denkleminin tamsayılarda çözümleri var mıdır, varsa kaç tanedir? Ya da
>> çözümler için bir üst sınır bulabilir miyiz? Mesela max (|x|,|y|)< C gibi
>> bir C sabiti var mıdır?
>>
>> Not: dört tane çözümünü,
>>
>>  {x=0, y^2= -1,1}  ve {x=3,  y^2= 11,-11} olarak buldum ama bunlardan 
>> başka
>> çözümleri var mı acaba?
>>
>> Teşekkürler
>>
>> Ayhan Dil
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular mailing list
>> MD-sorular at matematikdunyasi.org
>> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
> -- 
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.
> 





MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi