[MD-sorular] Rv: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 27, Konu 5

[Ahmet Delil]

ihsan_einstein at yahoo.com'un sorusu:

> daha yalın bir şekilde;
>  2 zarf var, birini sectin, actin 100 lira >cikti. 1/2 olasilikla
digerinde 50, 1/2 >olasilikla 200 lira var.Degisir misin degismez >misin?

COZUM: Soru suna donuyor:
Sectigin zarfi actin ve 100 lira gordun. Simdi yazi tura atacagiz, tura
gelirse sana verilen paranin yarisini (50 lira) kaybedecek, yazi gelirse 2
katini (100 lira daha) kazanacagin bir oyuna girer misin? Evet, cunku,

Cozumunde soyledigin gibi, diger zarftaki beklentin E=(1/2)*50+(1/2)*200=125
lira. 

Yani, beklentin 100'den cok oldugundan degisirsen eski durumuna gore 25 lira
kazancli cikarsin. (Ama, her iki durumda da zaten en az 50 lira veriyorlar,
ne guzel!) 

Yani, problem su soruya donuyor:

**Al sana 100 lira! 100 liran var, yazi-tura atacagiz, tura gelise paranin
yarisini (50) bana vereceksin, yazi gelirse ben sana 100 lira verecegim. Bu
oyuna girer misin?**

Bu oyuna her zaman girilir. Kaybeden de soruyu soran olur. Adil bir oyun
degil yani.

SONUC:
Iki zarftan birinde N lira oldugundan eminsen (acip bakmissan), diger
zarftaki beklentin 
E=(N/4)+N liradir. Zarflari degisirsen eski durumuna gore N/4 lira
kazanclisin. 

Bu soru bir zamanlar Amerika’daki bir gazetede cikan ve epey
tartisilan asagidaki soruyu hatirlatti; sonrasindaki soru olarak genellemek
zor degil:

SORU: Varsayin ki bir kisi soyle bir piyango duzenliyor:

Piyango duzenleyicisi A, B ve C zarflarinin icine para cekleri
yerlestiriyor. Bu zarflarin 2’sinde bos cek, ama birinde 100 lira var
(veya cok istedigin bir sey). Piyangoyu duzenleyen secim yap diyor, sen
secimini yapiyorsun, diyelim ki C zarfini sectin. Simdi, piyangoyu
duzenleyen diyor ki, bu zarflardan birinde bos cek var (diyelim A zarfi) ve
acip gosteriyor. Sonra da soruyor, sectigin zarfi diger zarfla (yani B ile)
degisir misin, degismez misin?
(Bunun cozumunu ilk karsilastigimda gorememistim; ogrendigimde asagidaki
gibi genellestirilebilecegini gordum.) 

SORU (genel): Varsayin ki bir piyangocu soyle bir oyun duzenliyor:
A1, A2, ..., An kodlu zarflar var. Bunlarin biri doludur (100 liralik cek),
digerlerinin hepsi bostur. Bu zarflardan birini sec diyor piyangocu, birini
seciyorsun. Daha sonra da bos oldugunu bildigi n-2 tane zarfi aciyor ve
soruyor: Elindeki zarfi mi istersin yoksa geri kalan zarfi mi? 





> 
> Eger actigimiz zarfta N lira varsa , diger zarfta N/2 lira olma olasiligi
1/2 'dir, 2N lira olma olasiligi 1/2'dir
>  
> Benim dusuncem, yukardaki gibi bir rastgele degisken tanimlanamaz.
>  
> ilk actigimiz zarfda gordumuz para rastgele degiskenine X1 diyelim, diger
zarftakine X2 diyelim.
> Yukardaki arguman p(X2|X1)'i tanimliyor, ki her reel X1 icin dogruysa,
X2'nin oncel (apriori) olasilik dagiliminin reel eksen uzerinde sabit olmasi
gerekir, ve bu gecerli bi olasilik dagilimi olamaz ve bunun uzerine kurulu
bir X2|X1'in beklenti hesabi da anlamsiz olur.
>  
> Burak
> 
> 
> Date: Mon, 2 Apr 2007 20:37:01 +0300From: ihsan_einstein at yahoo.comTo:
md-sorular at matematikdunyasi.orgSubject: [MD-sorular] Degismeli mi,
degismemeli mi?
> Size bir olasilik sorusu. Sanırım bir forum sitesinde sorulmuştu. Soru su:
Bir kisi elinde 2 kapali zarf geliyor. Zarflardan birinde digerinin 2 kati
kadar para var. Ama siz hangisinde fazla hangisinde az para var
bilmiyorsunuz. Adam sizden bir zarf secmenizi istiyor, siz de seciyorsunuz.
Adam hemen sonra size sunu diyor: "Gel zarflari degiselim". Simdi
kazancli cikmak icin zarflari degismeli misiniz degismemeli misiniz? Tabii
ki mantiken birsey fark etmemesi gerekiyor, sonucata cok para olan zarfi
almis olma olasiliginiz 1/2. Ote yandan soyle bir dusunce de var: Diyelim
sizin aldiginiz zarfta N lira var (N'in ne oldugunu bilmiyorsunuz, ya da
zarfi acip bakabilirsiniz, fark etmez). Simdi 1/ olasilikla diger zarfta 2N
lira var, ve 1/2 olaslikla da N/2 lira. Matematiksel beklenti (expectation)
kavramini bilenlerinizin de fark edecegi gibi, zarflari degismeniz halinde
size karsidan gelecek olan paranin beklentisi (1/2)*(2N) + (1/2)*(N/2) =
(5/4)*N Yani karsidan gelmesi beklenen para N'den fazla. O halde zarflari
degismek akilci olur. Ama zarflari degisir degismez yine ayni mantiktan
hareketle elinizdeki zarflari tekrar degismek akilci olur. Sonra tekrar ve
tekrar... Nedir ortadaki yanlislik?
>  
> daha yalın bir şekilde;
>  2 zarf var, birini sectin, actin 100 lira cikti. 1/2 olasilikla digerinde
50, 1/2 olasilikla 200 lira var.Degisir misin degismez misin?
>  
> .... .
> 
> 

________________________________________________
Message sent using CBUWebmail 2.2.3