[MD-sorular] polinomun grubunun...

barış uğurcan barisevren19 at yahoo.com
12 Nis 2007 Per 12:27:54 EEST


farzedeli degismeli bir halka uzerinde calisiyoruz. Karsimizda da asagidaki esitlik var:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

a, b, c, d yi "birbirine" gorurecegiz ve sag tarafin degeri degismeyecek mesela degismeli bir halka uzerinde calistigimiz icin  eger a ve b yi c ve d ye goturursek sag tarafin degeri degismez. Simdi sag tarafin degerini degistirmeyen bu islemleri isimlendirelim:

(a,b)=X1 ( burada (a,b) a ve b yi flip yapma yani birbiriyle degistirme olsun)

(c,d) =X2

(a,c) ve (b,d) =Y1

bu uc islem yukaridaki esitlikte sagdaki bolumu degistirmez. Cunku X1 ve X2 de halkanin degismeli grup yapisini Y1 de de kommutatif oldugunu kullaniyoruz.

Simdi arastirmak istedigimiz sey su: bu elemanlarla gerilen grup hangisidir?  Yukaridaki durumda bu basit gibi duruyor cunku elemanlarin karesi kendilerine esit nihayetinde "flip" bunlar. Tabii su islem icin de durum cok farkli olmasa gerek:

(a1-a2)(b1-b2).......(z1-z2) (z ye kadar nasil geldik, yada z den sonra hangi harfle devam edecegimizi ben de bilmiyorum...)

simdi daha karmasik bir ifade yazabiliriz, yukaridakinden daha karmasik ve de cebirsel olan benim aklima (!) gelen n degiskenli bir polinom var: (fikri olan?)

P(x1,x2,x3.....xn)

simdide bu x1, x2.....,xn leri birbirine oyle bir goturmek istiyoruz ki....ne? Nolsun? valla ilk akla P ayni kalsin... Biz x1,x2...xn leri birbirine nasil goturecegiz ki (yani permutasyon, masanin cevresine bir turlu oturamama, veya lise matematiginin fotograf cekinirken birbirinden ayrilmak istemeyen gicik adamlari inceleyen bolumu...neyse konuya donelim..) polinom hala ayni kalacak (yani polinomun ifadesi):

P(x1,x2,x3,x4)=x1^2 + x1*x2*x3 + x3^4 + x3*x1 bu tip donusumlerini nasil buluruz?

peki polinomun derecesi cok fazlaysa?

Basit durumlar var tabii, mesela:

P(x1,x2,x3)=x1^2 + x2^2 +x3^2 sinde x1, x2 , x3 kumesinin herhangi bir permutasyonu bize istedigimizi verir.

dikkat edecek olursak burada isimizi kolaylastiran sey terimlerin homojen olmasi ve derecelerinin ayni olmasi oldu. Bundan birazcik vazgecersek, mesela quadratik polinomlari dusunursek (yani her terimdeki usler toplami iki olacak)

P(x1,x2)= x1^2 +  x1*x2 +  x2 ^2 bundan da bahsettigimiz donusumleri bulmak basit gibi duruyor. Peki bu sekilde usler bakimindan homojen 3 uncu 4 uncu veya besinci derecede ne olur? ve tabii (dogal olarak...) n inci derecede? Yani {x1, x2, ...xn} kumesinin hangi permutasyonlari icin P nin ifadesi ayni kalir? Bu gruba polinomun... grubu diyecek (!) olursak, degisik polinomlar icin  bu grubu kolay sekilde nasil buluruz? yada bulabilir miyiz?

Arkadaslar, kizacaksiniz belki ama lutfen cevap yazarken su kaynagi bu kaynagi referans gostermeyin. Hani matematik tarihinde matematigi tartisan ilk insanlar olmadigimiza gore muhtemelen bunlar bir sekilde vardir, bulunmustur vaya bir teoriden cikar degil mi? Lutfen kendimiz dusunelim, mesela asagidaki polinomun yukarida bahsettigimiz "grubunu" bularak baslayabiliriz: tabii, yukarida yapilmamis olan, bir de bahsettigimiz seyin grup oldugunu gosterirsek cok makbule gecer (eger grupsa tabii, degilse yandik...):

P(x1,x2,x3,x4,x5)= x1^2 + x3 ^4 +x1* x2 *x3 *x4^2 + x5^3 + x1* x5+ x1x2 +x2x3 +x5*x1 + x2^2

kimbilir belki de sadece birim permutasyon (identity) bu isi gorur  bu durmda. Tabii hemen soruyu yapistiriyoruz: hangi durumlarda yukarida bahsettigimiz grup (daha grup diyo yaaa) tek elemandan olusur? yani sadece birim elemandan?

Sorunun daha gelistirilmis (daha da zor gorunen) sekili su olabilir:

eger bir P(x1, x2, .....xn) polinomu icin P(a1, a2, .....an)=a ise (a burada sabit bir sayi) x1, x2 ....xn kumesinin hangi permutasyonlari icin P ayni noktada a degerini verir? burada x1, ....xn kumesinin permutasyonunu aldiktan sonra farzedelim x2 x1 e,  x1 de x5 e gitmis o zaman bu sefer mesela x2 nin yerine a1 x1 in yerine a5 koyarak polinomun (a1,....a5) noktasindaki degerini hesapliyoruz (iyi ki soyledim..). Acikca goruldugu gibi yukarida acikladigimiz "polinomu sabit birakan" islemler "degeri sabit birakan" (bununla ne demek istedigimizi yukarida acikladik) islemlerin alt kumesidir. Hatta bence ondan kucuktur. Peki "degeri sabit birakan" islemler grup mudur ki? Tabii son sorumuzda ifadesi sabit kalmayan ama belli bir noktada degeri sabit kalan bir polinom, nokta ve permutasyon ornegi(!)...cevaplar kadar bu konuda ufkumuzu acacak derin bilgilere haiz olmamizi saglicak daha guzel sorular da beklliyoruz.

hadi seytanimiz bol olsun...

saygilar,

baris





       
---------------------------------
Now that's room service! Choose from over 150,000 hotels 
in 45,000 destinations on Yahoo! Travel to find your fit.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070412/82039355/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi