[MD-sorular] Re: Üstel fonksiyonun matrislere uygulanışı

[E. Mehmet Kıral]

Tamam buldum cevabı. Yalnız kanıt karmaşık matrisler için geçerli sadece.

A matrisini alalım ve bir baza göre üstüçgensel yazalım bu matrisi,
yeni matrise de B diyelim. Karmaşık operatörlerde bu yapılabilir.

B'nin köşegeninde B'nin (ve dolayısıyla A'nın) özdeğerleri gözükür.

Ayrıca B^k matrisi de üstüçgenseldir ve köşegeninde lambda^k'lar
gözükür eğer lambda B'nin bir özdeğeriyse. Bu durumda exp(B) matrisi
hem üstüçgensel olur hem de köşegeninde exp(lambda)'lar bulunur.

Demek ki exp(B)'nin tüm özdeğerleri exp(lambda) şeklindedir.

Matrisleri bir baza göre yazılmış operatör değil de bir sayılar dizeyi
olarak düşünmek isterseniz B = PAP^-1 yazarsınız ve exp(B) =
exp(PAP^-1) = P exp(A) P^-1 eşitliğinden görürsünüz ki exp(B)
matrisinin özdeğerleri ile exp(A) matrisininkiler aynı. Aynı durum B
ile A'nın özdeğerleri için de geçerli. Demek ki exp(A)'nın her
özdeğeri A'nın bir lambda özdeğeri için exp(lambda) şeklinde.

Gerçel bir matriste ise exp(A)'nın her özdeğeri A'nın bir lambda
özdeğeri için exp(lambda) biçiminde yazılmak zorunda değil. Hatta
A'nın hiç özdeğeri olmayabilirken exp(A)'nın iki gerçel özdeğeri
olabilir. Örneğin:

0    -2pi   = A olsun.
2pi   0

A'nın hiç gerçel özdeğeri olmadığını karakteristik polinomunun t^2 +
4pi^2 olmasından görebiliriz.

Biraz hesapla ya da C'yi R üzerine iki boyutlu vektör uzayı olarak
görürdüğümüz zaman A'nın 2pi*i olduğunu fark ederek,
1 0  = exp(A) olur.
0 1

Bu matrisini ise tam 2 adet özdeğeri var.

Demek ki
2007/8/19, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> A herhangi bir kare matris olsun. exp (A) = TOPLAM k = 0'dan oo'a
> A^k / k! biçiminde tanımlanmış olsun.
>
> Bu seri kare matrisler üzerindeki herhangi bir norma göre Cauchy'dir.
> Matrisler uzayı da tam olduğundan bu limite karşılık gelecek bir
> matris vardır. Ayrıca kolaylıkla gösterilebilir ki eğer lambda A'nın v
> vektörüne karşılık gelen bir özdeğerse o zaman exp(lambda) sayısı da
> exp(A) operatörünün v vektörüne karşılık gelen bir özdeğeridir.
>
> Şimdi merak ettiğim soru ise şu? Tersi geçerli midir? Yani  exp(A)'nın
> her özdeğeri A'nın bir lambda özdeğeri için exp(lambda) biçiminde
> midir?
>
> Böyle olduğunu düşündürecek bir sonuç exp(A)'nın hiçbir özvektörünün 0
> olmamasıdır. Zira exp(-A) da bir matristir ve exp(A)exp(-A) = exp(A -
> A) = I. Dolayısıyla exp(A) tersinir ve 0 onun bir özdeğeri olamaz.
>
> --
> I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> Science")
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")