[MD-sorular] Dogrular...

E. Mehmet Kıral luzumi at gmail.com
22 Ara 2007 Cmt 14:51:11 EET


Evet oldukça ilginç sorular;

İlk iki soru hariç cevaplayacağım; En sonunda düzlemde Sylvester
teoremine bir kanıt yazdım, lütfen dikkatle okuyun ve eğer bir hata
varsa bulun.

3. Evet öyledir. Bunun kanıtı MD'de de yer almaktadır üstelik, ya da
Proofs from THE BOOK'ta da bulabilirsiniz, Sylvester teoremi adı
altında; Hepsi tek doğru üzerine yer almayan n nokta verildiği zaman
sadece 2 noktayı içeren bir doğrunun varlığını iddia ediyor. Buradan
da her üçü bir doğru üzerinde olan noktalar verildiği zaman bu
noktaların dosdoğrusal olmaları gerektiğini çıkarsayabiliriz.

İlk çok şık kanıt metrik geometriyi kullanıyor, yani bir doğru ile bir
nokta arasındaki mesafeden söz ederek kanıtı gerçekleştiriyor.

4. Dolayısıyla R^n'de doğru olduğunu söyleyebiliyoruz hemen.

Oysa bu teorem çok daha genel incidence geometrilerinde dahi doğru. O
kanıt da hemen ardından veriliyor. Demek ki izdüşümsel geometride de
doğru

5. Bu durumda izdüşümsel geometrideki nokta doğru dualitesinden aynı
teoremin noktaları doğrularla değiştirerek 4. sorudan 5. soruyu da
çıkarsarız.

R^n'de de izdüşümsel geometriye geçebiliriz elbet, ancak o zaman
noktayı doğruyla değiştirdiğimiz zaman yeni bir teorem elde etmeyiz. O
yüzden 6.sorunun cevabı hemen dualiteden çıkmıyor. Başka bir argüman
gerekli

Her üç doğrunun tek bir noktada kesiştiğini biliyoruz. Şimdi bir
dördüncü doğru alalım ve bu kesişim noktasından geçmesin. Üç doğru
olarak 1,2 ve 4 numaralı doğruları ele alalım. İki doğru en fazla bir
noktada kesişir, dolayısıyla bu üç doğrunun ortak kesişim noktası
olamaz. Oysa 3 doğrunun tek bir noktada kesiştiğini varsaymıştık,
çelişki. Demek ki hakikaten de tüm doğrular tek bir noktada
kesişiyormuş.

Aslında bu argümandan düzlemdeki Sylvester teoremi için bir yesyeni
bir kanıt elde ediyoruz. Diyelim ki sadece 2 noktayı içeren doğrular
yok, demek ki her doğru, verili noktalardan 3 tanesini içeriyor. Bu da
dualiteden her verili her 3 doğrunun bir noktada kesiştiği bir
konfigürasyona denk gelir. Biraz önce kanıtladık ki (R^n'de
kanıtladık, dolayısıyla R^2'de de doğru) bu durumda her doğru tek bir
noktadan geçer, dualiteyle geri dönersek, tüm noktalar doğrusaldır.

NOT: Bu kanıt doğru olamaz, bir hata olmalı. (Diyorum ama öte yandan
da hata yok.) Yine de Erdös'ün göremediği kanıt bu olamaz. Ya da belki
o sadece düzlemde değil daha genel bir durumda kanıt arıyordu.

2007/11/18, ihsan yÿfffffccel <ihsan_einstein at yahoo.com>:
> Payasim(ilginc geldi!):
>
> Soru 1. 3 boyutlu uzayda 4 aykiri dogruyu kesen kac dogru vardir?
>
> Soru 2. 3 boyutlu uzayda 4 aykiri dogruyu sonlu sayida dogru mu keser?
>
> Soru 3. Duzlemde sonlu sayida noktalar olsun, bu noktalarin her ucu daima
> kolineer ise (yani daima her ucu bir dogru uzerinde iseler). Ispat
> edin ki butun hepsi ayni dogru uzerindedirler.
> Ek soru: Ayni sey R^n de dogru mu?
>
> Soru 4. Duzlemde sonlu sayida dorular olsun, bu dogrularin her ucu daima
> bir noktada kesisiyorlarsa, Ispat edin ki butun hepsi ayni noktada
> kesissin.
> Ek soru: Ayni sey R^n de dogru mu?
>
>
> ihsan (...)
>
>
>
>  ________________________________
> Yahoo! kullaniyor musunuz?
>  Istenmeyen postadan biktiniz mi? Istenmeyen postadan en iyi korunma Yahoo!
> Posta'da
> http://tr.mail.yahoo.com
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi