[MD-sorular] bir teorem

[E. Mehmet Kıral]

İki hata yaptım biri büyük biri küçük.

Küçük olanı f_n(x) = arctan(x/n) dizisinin normunun hep 0 olacağını
dediğimdeydi, pi/2 olur tabii.

Büyük olanı ise, sorulanı doğru düzgün okumamış olmamdan kaynaklanıyor
L_sonsuz (R) falan demedi kimse bana. [0,1] aralığında olup bitiyor
herşey.

Örnekleri değiştirmem gerekiyor.

L_sonsuz[0,1]'i ele alalım. Ve f_n(x) fonksiyonu 1/2n ile 3/2n
arasında 1 geri kalan yerde 0 olarak tanımlanmış olsun. Bu durumda
noktasal olarak 0 fonksiyonuna giden fonksiyon dizisi'nin
L_sonsuz[0,1]'de normu hep 1'dir.

L_2'de tek bir noktada fonksiyonun aldığı değer integrali
değiştirmediğinden böyle bir teoremin doğru olması beklenemez.

2007/12/26, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> Bu iddia doğru değildir, dolayısıyla teorem de değildir.
>
> f_n(x) = arctan(x/n) fonksiyon dizisini düşünürsen, her zaman sup
> normundaki normu 0 olacaktır. Ancak fonksiyon her x değeri için 0'a
> yakınsıyor.

normu pi/2 olacaktır demek istedim özür dilerim.

>
> L_2 normu için de benzer bir şey üretilebilir. İntegrali sabit kalıp
> da sonsuza doğru yayılan ve dolayısıyla her noktada 0'a giden bir
> fonksiyon dizisi oluşturulabilir. n/(1+(nx)^2) oluyor. integrali hep
> pi, gel gelelim her noktada 0'a gidiyor 0 hariç. Sanırım arzulanırsa
> başka bir fonksiyon dizisinde 0 noktasının da istenen fonksiyona
> götürülmesi sağlanabilir.
>
> Üstelik L_2 normunda tersi de gerekli değildir L_sonsuzda gereklidir
> ama. Yani bir fonksiyon dizinin başka bir fonksiyona yakınsaması için
> L_sonsuzda her noktasal olarak yakınsama gereklidir (yeterli değildir
> görüldüğü üzere).
>
> 2007/12/25, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>:
> > Anladim galiba, tesekkurler. Kolaymis. m sayilamaz sonsuzlukta derken sunu
> > kastetmistim:
> >
> > L_sonsuz[0,1] uzayinda bir f_n(x) fonksiyon dizisi alalim. Normu da supremum
> > olarak tanimlayalim yine. Ya da ornegin L_2[0,1] uzayinda bir fonksiyon
> > dizisi alip, normu da ic carpimdan gelen norm olarak tanimlayabiliriz.
> >
> > Teorem: Bu f_n(x) fonksiyon dizisi, ancak ve ancak her x \in [0,1] icin
> > f_n(x) reel sayi dizilerinin tamami yakinsaksa yakinsaktir.
> >
> > Bu teorem dogru mudur, nasil kanitlanir? Uniform convergence'i anlamadigimi
> > yazmistim yakinlarda bir mesajda. Bu onunla mi ilgili acaba?
> >
> > Kerem
> >
> >
> > On Dec 25, 2007 10:13 PM, haydar göral <hgoral at gmail.com> wrote:
> > >
> > >  Dizi [x*_1 ... x*_m]^T vektorune yakinsiyor ise, elemanlarin teker teker
> > bu limit vektorunun bilesenlerine yakinsaması şu eşitsizlikten çıkıyor.
> > >
> > >  |x_ni-x_i|<=d(xn,x)
> > > (soldaki reellerdeki mutlak değer,sağdaki öklit uzayındaki bildiğimiz
> > metrik ve yine x_i, x elemanının i. bileşeni ;x_ni de xn vektör dizisinin i.
> > reel dizisi).
> > >
> > >  l-sonsuz uzayı için de doğrudur bu,çünkü bu uzayda 2 elemanın arasındaki
> > mesafe kordinat kordinat farklarının supremumu olduğundan, kordinatlar
> > arasındaki farkta bu supremumdan küçük olduğundan ve tüm kordinatları
> > istediğimiz kadar küçük yaparsak bunların supremumunuda istediğimiz kadar
> > küçük yapabileceğimizden burdaki yakınsama kordinat kordinat
> > yakınsamadır.(notasyon nedeniyle matematikten çok edebiyat oldu biraz).
> > >
> > > l^2 hilbert uzayı(mutlak değerlerinin kareleri toplamı yakınsak olan
> > diziler) içinde doğrudur.
> > >
> > > m sonsuz olduğunda R^m üzerine nasıl bir metrik olcak ki yakınsaklıktan
> > bahsedelim?
> > > Yani dizileri alacağız ama hangi özellikteki diziler olacak?
> > >
> > >
> > > Haydar.
> > >
> > >
> >
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular e-posta listesi
> > sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
>
>
> --
> I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> Science")
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")