[MD-sorular] Þato Sorusu_revisited

Ali ilik aliilik at gmail.com
12 Þub 2007 Pzt 04:55:28 EET


Şatonun kavşakta olduğunu varsayalım.



Sonlu kavşağımız olduğundan bunları a_0,a_1,a_2, …, a_n olarak adlandıralım.
Çizgemizin adı da G_1 olsun.



a_o da şatonun bulunduğu kavşağı göstersin.



a_0 dan a_0 a komşu bir a_j noktasına hareket edelim. Ve a_j noktasındayken
bir an için şatoya (a_0 kavşağına) geri dönmek isteyelim. Ancak hemencecik
a_0 a geldiğimiz kenardan geri gelemeyiz aynı yoldan geçmeme şartı var
çünkü.



Soru: a_j noktasından şatoya giden bir yol var mıdır?



Dikkat! Bazı çizgeler elde edeceğiz. Ancak hep kenar sileceğiz, hiç kavşak
silmeyeceÄŸiz.



G_1 çizgesinden a_0-a_j kenarını silelim. Bu yeni çizgeye G_2 çizgesi
diyelim.



Bu durumda, G_2 çizgesindeki kavşakların derecelerine bakalım. a_0 ve a_j
nin dereceleri 2, diğer tüm kavşakların dereceleri 3'tür.



G_2 çizgesinde a_0 ve a_j nin dışındaki n -1 adet kavşağın derecesini de
–her kavşaktan, mümkün olabildiğini varsayarak, bir ve yalnız bir  kenar
silerek(!)- 2 ye indirdiğimizi VARSAYALIM. Ve bu yeni çizgemize G_3 çizgesi
diyelim.



G_3 çizgesinde her noktanın derecesi 2 -yani çift- olduğundan, Euler Teoremi
gereği a_j den başlayan ve her kenardan tam bir kez geçip tekrar a_j de
biten bir path (Euler turu) vardır.



A_j den başlayıp bu Euler turunu atmaya başlayalım ve a_0 a gelince duralım.
Ä°ÅŸte, ÅŸatoya geldik!



Demek ki a_j deyken şatoya dönebiliriz.



Eğer a_j deyken değil de a_j den farklı her hangi bir a_k (elbette a_k
farklı a_0) noktasındayken a_0 a (şatoya yani) dönmek istersek, bunu da
yapabiliriz.



Yine Euler teoremi gereği, şatodan başlayıp, yine şatoda biten bir Euler
turu vardır. a_j ye gelene kadar bu Euler turunun bir kısmını alınmış olur
zaten. Geri kalan kısmını tamamlarken, a_0 a geldiğimizde duralım. Şatoya
geldik!



Demek ki nereye giderek gidelim şatoya dönebiliriz.



Ancak bu bir kanıt değil elbette. Çünkü,



olası kanıtın en can alıcı ve en zor noktasını atladık! Varsayımımızın
(aslında 2 tane varsayımımız var, yukarıda yazdım.) doğru olması lazım şato
sorusunun yanıtının evet olduğunu söyleyebilmemiz için. O varsayımı nasıl
kanıtlayacağız? Belki de yanlıştır. Ama Prens in haklı olduğu artık
açıklandığına göre, varsayım doğru. Ama açıklamamız gerek.



Her kavşaktan hangi yolları sileceğiz? Bir başka deyişle, her hangi bir
kavÅŸaÄŸa geldiÄŸimizde, hangi kenardan yolumuza devam edeceÄŸiz?



 Dahası… Silebilmek mümkün mü? Yani, köşelerini (noktalarını) hiç
silmeyerek, her köşesini derecesi üç olan HER çizgeyi, her köşesinin
derecesi 2 olacak biçime getirebilir miyiz? Getirebilirsek nasıl getiririz?



Prens sorusunu biraz daha biçimselleştirdik. (Listeye gelen maillerde farklı
bakış açıları var, anket yapmak lazım: prens sorusu diyenler a şıkkını, şato
sorusu diyenler b yi, ÅŸato ve anne sorusu diyenler c yi, prens ve ÅŸato
sorusu diyenler d yi mi seçse ne?)



MD nin yeni sayısında bu şato sorusuyla ilgili yazı da bu seçimi öğrenmiş
olacağız anlaşılan.



Ancak o zamana kadar, bu yazdıklarıma katılan varsa, buradan bir çıkış yolu
bulalım.



Yanlış anlaşılmasın ama, bal peteği, vişne kavonozu, şeker pancarı
olaylarına giremeyeceğim. Çizgeler teorisiyle, soruyu biçimselleştirmeden,
işte oradan da zaten bir tane kapalı şekil olur, nasıl nasıl döner-
düşüncesinin bu işi çözmeyeceği belli. Zaten son e-postalarda daha
matematiksel denemeler var. Okuyorum onları ancak, iyi okumadım. Bir daha
okumam lazım.



Bundan önceki mesajlarımda yaptığım matematiksel hataların hemen hemen
hepsini keşfettim. Örneğin birinde "Her köşesinin derecesi en az 3 olan bir
çizgede Euler turu vardır demiştim." Hayır. Euler turu olabilmesi için gerek
ve yeter şart çizgenin tek varça ve her noktasının çift dereceli olması (MD
2003 Güz-sf 13). Sf 13'teki kanıtın ilk cümlesinde de uyarı yapılmış zaten.
Göz göre göre uyarıda bahsedilen hatayı yaptım bir önceki mesajımda.
Tanımı-önsavı iyi okumamışım demek ki.



Yukarıdaki iki cümlemi alıntılıyorum:



"Her kavşaktan hangi yolları sileceğiz? Bir başka deyişle, her hangi bir
kavÅŸaÄŸa geldiÄŸimizde, hangi kenardan yolumuza devam edeceÄŸiz?"



Sorunun özü de bu ya!



Demek ki soruyu kanıtlamaya çalışırken, soruyu (sorunun özünü) anladım!



Anladım!



Artık, kanıt için denemeye başlayabilirim!



Gerçekten de, politikadan atıp tutmaya benzemiyormuş!



Matematikten konuşurken, nasıl da çuvalladım.



Matematiğe ilişkin etrafımda zinciri daha iyi keşfettim.



O zincirin halkalarından biri de "tanımları iyi okumama" halkası. Bir
diğeri, soruyu anlamadan çözmeye çalışmak düşüncesi.



Artık daha çok dikkat ettiğimi sanıyordum tanımlara ama demek ki hala
yeterince dikkat etmiyormuÅŸum.



Matematiğe gelince de zincirimden boşalmışçasına konuşabilmem için daha çok
fırın ekmek yemem lazım demek ki.



Olsun, zinciri fark etmek de bir ÅŸey.



Ali
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070212/95b71b2c/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi