[MD-sorular] sato sorusu ve benzerleri

[Firat Solgun]

Strateji 1: bir saÄŸ bir sol

Strateji 2: sol-saÄŸ-saÄŸ-sol-saÄŸ-saÄŸ-... (bir sol iki saÄŸ)

Strateji 3: sol-saÄŸ-sol-saÄŸ-saÄŸ-sol-saÄŸ-saÄŸ-saÄŸ-... (bir sol n saÄŸ, n bir
artarak gidiyor)


 Yukarıdaki üç strateji de prensi şatosuna geri götürecektir(zaten ilk
ikisinin - kanıtlarını olmasa bile - geri götüreceklerini biliyorduk).
Kanıtlarımı aşağıda sunuyorum. İlk strateji için daha önce gönderdiğim
kanıtı daha "temiz" bir şekilde yazdım çünkü onu diğer stratejileri
kanıtlarken kullanıyorum. Daha genel olarak prensin izlediği strateji
periyodik ise prens şatosuna geri dönecektir. Örneğin yukarıdaki 1. ve 2.
stratejiler periyodiktir(3. strateji periyodik değildir) ve periyotları
sağ-sol(ilk strateji) ve sol-sağ-sağ(ikinci strateji)'dır. Başka periyodik
strateji örnekleri:


 sol-sol-saÄŸ-saÄŸ-sol-sol-saÄŸ-saÄŸ ... (iki sol iki saÄŸ)

sol-sağ-sağ-sağ-sağ-sol-sağ-sağ-sağ-sağ ... (bir sol dört sağ)

(p sol q saÄŸ)

(p sol q sağ r sol t sağ), p, q, r, t doğal sayı

vs...

Prens yukarıdaki periyodik stratejilerin hangisini izlerse izlesin şatosuna
geri dönecektir.

Periyodik strateji, sonlu sayıda sağa/sola dönüşün bir periyodunu
oluÅŸturduÄŸu ve bu periyodun sonsuz kere yana yana gelmesinden oluÅŸan
stratejidir.

Tüm bu sonuçların ardından kendimize şu soruları sorabiliriz:

Hangi strateji daha iyidir?

İyilik göreceli bir kavram olsa da, örneğin şatoya en çabuk geri döndürecek
strateji hangisidir?

Çabukluk da yeterince açık değil.

Prensin izlediği strateji, onu en fazla kaç dönüşün ardından şatosuna geri
döndürebilir?

Bu bakımdan izlenebilecek en iyi strateji hangisidir?

Bu soruların yanıtlarını bilmiyorum.

Şimdi kanıtlara geçelim:


 Adadaki yol ve kavşakları temsil eden çizgemizdeki noktaları a, b, c, ...
olarak adlandıralım. Prensin izlediği stratejiye bağlı kalarak sonsuza dek
yürüdüğünü varsayalım ve prensin bu yolculuğunu, geçtiği kavşakların
isimleri cinsinden kaydedelim. Örnek bir yolculuk aşağıdaki gibi elemanları
nokta isimlerinden oluşan bir dizi oluşturacaktır; bu diziyi "yolculuk
dizisi" olarak adlandıralım:


 a d e b z h ...


 Yukarıdaki örnekte şatonun a ve d noktalarını birleştiren kenar üzerinde
olduğunu ve prensin geçtiği ilk noktanın d olduğunu kabul ediyoruz.

Ayrıca yolculuk dizisinin n'inci terimini yd(n) olarak adlandırırsak,
yukarıdaki örnekte yd(1)=a, yd(2)=d, yd(3)=e, yd(4)=b... olacaktır.

 Strateji 1: bir saÄŸ bir sol


 Herhangi bir yolculuk dizisinde ardışık üç noktayı ele alalım. Örneğin
dizimizin bir yerinde (b d c) noktaları bu sırayla yer alsın, bir başka
deyişle dizimiz ... b d c ... şeklinde olsun. Bu yazılıştan, prensin
yolculuğunun bir yerinde, b noktasından d noktasına gelip, burada, d
noktasını c noktasına birleştiren kenara saptığını anlıyoruz; bir başka
deyişle prensin d noktasında hangi yöne(sağ ya da sol) döndüğü bilgisini
elde ediyoruz. Bu bilgi bize, prensin bir sonraki c noktasında hangi yöne
dönmesi gerektiğini(strateji bir sağ bir sol), dolayısıyla da dizide c'den
sonra gelen noktayı söyleyecektir. Bu noktanın adı da e olsun. Buradan şu
sonucu çıkarıyoruz: yolculuk dizisinde herhangi bir noktadan önceki iki
nokta bir sonraki noktayı belirler. Örnekte c'den önceki b ve d noktaları
c'den sonraki e noktasını belirlemiştir: ... b d c e ...

Aynı düşünceyi d c e noktalarına uygularsak, e noktasından sonra gelecek
noktayı buluruz. Tümevarımla dizinin c noktasından sonraki tüm noktalarını
belirleyebiliriz. Bir başka deyişle yolculuk dizisinin herhangi ardışık üç
noktasını biliyorsak dizinin o üçlüden sonraki tüm noktalarını
bulabiliriz. Buradan
aynı sıralı üçlüyle başlayan dizilerin aynı diziler olacağı sonucu çıkar.* *Bu
sonucu şu şekilde de ifade edebiliriz: Yolculuk dizisinde aynı sıralı üçlü
iki kere belirmişse - örneğin (b d c) sıralı üçlüsü – yolculuk dizisi şu
şekilde olacaktır: ... b d c ... b d c ...

İlk c noktasının terim sırası i, ikincisinin j olsun(yd(i)=yd(j)=c). Öyleyse
yd(i+k)=yd(j+k) eşitliği k>=0 durumu için geçerlidir. Ya da daha genel
haliyle i<j için, yd(i)=yd(j), yd(i-1)=yd(j-1) ve yd(i-2)=yd(j-2) ise, her
k>= 0 için yd(i+k)=yd(j+k) eşitliği doğrudur.


 Aynı düşünce diziye ters yönde de uygulanabilir: b noktasından sonraki iki
noktayı(d ve c) bildiğimiz için b'den önceki noktayı bulabiliriz. Ve ek
olarak b noktasının dizide kaçıncı nokta olduğunu biliyorsak, bu düşünceyi
tekrar tekrar uygulayarak dizinin başına kadar tüm noktaları elde
edebiliriz. Buradan da aynı iki üçlüden önceki noktaların aynı olduğu sonucu
çıkar. Bu sonucu da yukarıdaki gibi ifade edebiliriz:yolculuk dizisinde aynı
sıralı üçlü iki kere belirmişse - örneğin (b d c) sıralı üçlüsü – yolculuk
dizisi yine ... b d c ... b d c ... şeklinde olacaktır. Yine ilk c
noktasının terim sırası i ve ikincisinin j olsun(yd(i)=yd(j)=c). k>=0 ve i>k
için yd(i-k)=yd(j-k) eşitliği geçerlidir. Daha genel olarak, i<j için,
yd(i)=yd(j), yd(i+1)=yd(j+1) ve yd(i+2)=yd(j+2) doÄŸru ise, her k>=0 ve i>k
için yd(i-k)=yd(j-k) da doğrudur.

Yolculuk dizisinde üçüncü noktadan başlayarak, her nokta kendisinden önceki
iki noktayla bir sıralı üçlü oluşturur. Buna göre dizideki sıralı üçlüler
sonsuz sayıdadır. Ancak çizgemizdeki nokta sayısı sonlu sayıda olduğu için,
bu noktalardan oluşturabileceğimiz farklı sıralı üçlü sayısı da sonludur.
Demek ki en azından bir sıralı üçlü dizide sonsuz kere yer almalıdır. Bu
üçlü (b c d) üçlüsü olsun. Dizideki ilk sıralı üçlüyü de (a e f) olarak
adlandırırsak yolculuk dizisi aşağıdaki gibi olacaktır(tekrar eden üçlünün
dizideki ilk üçlüden farklı olduğunu varsayalım aksi taktirde kanıtlayacak
bir ÅŸey kalmaz):


 a e f ... b c d ... b c d ... b c d ... b c d ...


 Yolculuk dizisinde beliren ilk sıralı (b c d) üçlüsündeki b noktasının
terim sırası i olsun, ikinci (b c d) üçlüsündeki b noktasının terim sırası
ise j olsun(j>i). Önceki paragraflarda elde ettiğimiz sonuca göre:


 yd(j-(i-1))=yd(i-(i-1))=yd(1)=a

yd(j-(i-2))=yd(i-(i-2))=yd(2)=e

yd(j-(i-3))=yd(i-(i-3))=yd(3)=f


 eşitlikleri doğrudur. Ayrıca j>i olduğundan j-(i-1)=j-i+1>1 eşitsizliği
geçerlidir. m=j-(i-1) dersek,


 m>1'dir(m>i eşitsizliği de doğrudur, kanıtını size bırakıyorum) ve

yd(m)=a

yd(m+1)=e

yd(m+2)=f


 eşitlikleri geçerlidir. Başka bir deyişle yolculuk dizisinin ilk üçlüsü (a
e f) dizide ikinci kez belirmiştir ve bu belirişte a noktasının terim sırası
m'dir ve en önemlisi m 1'den büyüktür. Bu da prensin şatonun bulunduğu a ve
e noktaları arasındaki kenardan bir daha geçeceği anlamına gelir.


 Not:

(Bu not prensin yolculuÄŸuyla ilgili daha fazla bilgi elde etmemizi
sağlayacağı gibi, daha sonraki stratejilerin kanıtlarında kullanacağımız
önemli sonuçlara da ulaşacaktır.)


 Herhangi n ve p doğal sayıları için


 yd(n)=yd(n+p)

yd(n+1)=yd(n+1+p)

yd(n+2)=yd(n+2+p) doÄŸruysa


 yd(n+2+k)=yd(n+2+p+k) doğrudur(önceki paragraflardan birinde kanıtlandı) ve
bu eşitlik yukarıdaki üç eşitlikle birlikte kullanılarak

k=p-2 için yd(n+2+p-2)=yd(n+p)=yd(n+2+p+p-2)=yd(n+p+p)

k=p-1 için yd(n+2+p-1)=yd(n+1+p)=yd(n+2+p+p-1)=yd(n+1+p+p)

k=p için yd(n+2+p)=yd(n+2)=yd(n+2+p+p)

eşitliklerine ulaşılır. Yani ilk üç eşitlik n için doğruysa (n+p) için de
doÄŸrudur.


 Tümevarımla k ve p doğal sayılar olmak üzere


 yd(n)=yd(n+k*p)

yd(n+1)=yd(n+1+k*p)

yd(n+2)=yd(n+2+k*p)

eşitliklerine ulaşılır.


 Åžimdi bu sonucu kullanarak ve

yd(1)=yd(m)=yd(1+(m-1))=a

yd(2)=yd(m+1)=yd(2+(m-1))=e

yd(3)=yd(m+2)=yd(3+(m-1))=f

eşitliklerinin de doğru olduğunu bildiğimizden, her k doğal sayısı için

yd(1)=yd(1+k*(m-1))=a

yd(2)=yd(2+k*(m-1))=e

yd(3)=yd(3+k*(m-1))=f

eÅŸitliklerinin doÄŸru olduÄŸunu buluruz.

Bu da bize (a e f) sıralı üçlüsünün dizide (m-1) periyoduyla tekrar
edeceğini gösterir. Ayrıca bu durumda, herhangi i, j ve p, p<=m-1 doğal
sayıları için

yd(3+i*(m-1)+p)=yd(3+j*(m-1)+p) geçerli olacağından tüm yolculuk dizisinin
periyodik bir dizi olacağını ve bir periyodundaki nokta sayısının da (m-1)
olacağı sonucuna ulaşırız. Tam bu noktada daha sonra(3. Stratejinin
kanıtında) işimize çok yarayacak bir tanım yapalım:

EÄŸer yolculuk dizisi periyodik bir dizi ise, dizinin bir periyodundaki
noktaların dizideki sıralarıyla belirledikleri dizi parçasına "kapalı yol"
diyelim.

Örneğin periyodik dizi

a e f g h z t s r b c d a e f g h z t s r b c d ... ÅŸeklindeyse (a e f g h z
t s r b c d) noktaları bir kapalı yolu ve bu yoldaki dönüş yönünü belirler.


 Strateji 2: sol-saÄŸ-saÄŸ-sol-saÄŸ-saÄŸ ... (bir sol iki saÄŸ)


 Yukarıda, strateji 1'i kanıtlarken kullandığımız teknikleri - tek bir
farkla - aynen buraya da uygulayabiliriz. Bu tek fark ÅŸudur: prens strateji
1'i izlerse dizideki herhangi ardışık üç nokta dizinin tamamını belirlemeye
yetecekken strateji 2'yi izlerse dizinin tamamını berlirlemek için dizideki
herhangi ardışık dört noktayı bilmemiz gerekecektir(ardışık dört nokta
ardışık iki dönüş yönünü belirleyecektir). Yukarıdaki kanıtımız dört nokta
için de işleyecektir.


 Şimdi bu düşüncelerimizi genelleştirelim:

Prensin izlediği stratejinin periyodik olduğunu varsayalım ve bu stratejinin
en küçük(temel) periyodunu ele alalım. Bu periyot sonlu sayıda sağa ve sola
dönüşten oluşacaktır. Bu periyottaki dönüş sayısına n diyelim. Yukarıda
tanımladığımız yolculuk dizisinde ardışık üç nokta bir dönüşe karşılık
geldiği için ardışık (n+2) nokta ardışık n dönüşe karşılık gelecektir. Buna
göre yolculuk dizisinden herhangi (n+2) ardışık nokta seçersek, bu
noktalardan önceki ve sonraki tüm noktaları, yani tüm diziyi elde
edebiliriz(periyodu n olan bir dizide herhangi ardışık n nokta bilinirse tüm
dizi elde edilebilir, tabii önceki noktaları bulurken başlangıç noktasında
durabilmemiz için noktaları bulmaya başladığımız noktanın dizinin kaçıncı
noktası olduğunu da bilmemiz gerekir). Aslında (n+1) ardışık noktayı
bilmemiz yeterli olacaktır (kanıtını size bırakıyorum). Bu düşüncemizi
strateji 1'in kanıtında gerekli yerde kullanırsak(3 ardışık nokta yerine
(n+1) nokta argümanını kullanarak), prensin, izleyeceği tüm periyodik
stratejilerde şatosuna geri döneceği sonucuna ulaşırız. Buna göre


 sol-sol-saÄŸ-saÄŸ-sol-sol-saÄŸ-saÄŸ ... (iki sol iki saÄŸ)

sol-sağ-sağ-sağ-sağ-sol-sağ-sağ-sağ-sağ ... (bir sol dört sağ)

(p sol q saÄŸ)

(p sol q sağ r sol t sağ), p, q, r, t doğal sayı

vs...


 stratejileri, diğer tüm periyodik stratejiler gibi prensin şatosuna geri
dönmesini sağlar.

Ayrıca ilk stratejinin sonuna eklediğimiz nottaki kanıtımıza benzer şekilde,
her periyodik stratejinin yolculuk dizisinin de periyodik bir dizi olacağını
kanıtlayabiliriz(kanıtı - zaten uzun olan yazıyı daha da uzatacağından -
eklemiyorum ancak 1. stratejiden sonra izlenen adımları (n+1) nokta için
izlemek yeterli olacaktır). Bu sonucu 3. stratejinin kanıtında kullanacağız.


 Strateji 3: sol-saÄŸ-sol-saÄŸ-saÄŸ-sol-saÄŸ-saÄŸ-saÄŸ ... (bir sol n saÄŸ, n bir
artarak gidiyor)


 Bu strateji için de yanıtımız olumludur, prens şatosuna geri
dönebilecektir. İzleyeceğimiz kanıt her ne kadar strateji 1'in kanıtıyla
benzerlik gösterse de bazı farklı teknikler kullanacağız, sonuçta bu
strateji periyodik deÄŸil.


 Kanıt:

Kanıtımızda yine yolculuk dizisi kavramını kullanacağız ve bunun için yine
prensin sonsuza dek yürüyüşünü sürdürdüğünü kabul edeceğiz.

Ancak öncelikle prensin herhangi bir noktadan başlayarak sürekli sağa
dönerse ne olacağına bakalım. Prensin sürekli sağa dönmesi periyodik bir
strateji olduğundan, yolculuk dizisi de periyodik - yukarıda bahsettiğimiz
gibi - bir dizi olacak ve prens başlağı noktadan tekrar tekrar aynı şekilde
sağa dönecektir(bir noktadan üç farklı şekilde sağa dönülebilir). Bir başka
deyişle, prens, yukarıda tanımladığımız bir "kapalı yol" üzerinde
dolaşacaktır. Prensin bu kapalı yolda bir tam dönüş için katetmesi gereken
kenar sayısını p olarak adlandıralım ve buna kapalı yolun çevresi diyelim.
Bu sayı aynı zamanda oluşacak yolculuk dizisinin temel periyodundaki nokta
sayısına eşittir çünkü yolculuk dizisinde bir periyodun geçilmesi, prensin
kapalı yolun çevresini bir kere dolaşmasına karşılık gelmektedir.

Şimdi asıl dizimize dönelim. İzlenen stratejide, bir artarak giden sağa
dönüş grupları arasındaki sola dönüşler, aslında, önceki paragrafta
bahsettiğimiz kapalı yollardan birinden bir diğerine geçişi temsil
etmektedir. Bunu daha iyi anlamak için, yolculuk dizisindeki herhangi
ardışık üçlünün, ortadaki noktada yapılan dönüşü tam olarak belirttiğini
hatırlayalım. Örneğin, sağa dönüş grupları arasında kalan sola dönüşlerden
biri (b d c) üçlüsüyle temsil ediliyor olsun. Ayrıca bu üçlüden önceki ve
sonraki noktalar sırasıyla a ve e olsun, bir başka deyişle yolculuk
dizisinde ... a b d c e ... şeklinde bir parça olsun. Burada (a b d) ve (d c
e) üçlüleri sırasıyla b ve c noktalarında sağa dönüşü temsil edeceklerinden
a, b, d noktaları bir "kapalı yola"; d, c, e noktaları bir başka "kapalı
yola" dahil olacaklardır ve aradaki (b d c) üçlüsüne denk gelen sola dönüş
bu iki kapalı yol arasındaki geçişi temsil edecektir. Ayrıca, burada d
noktası ilk kapalı yoldan çıkış ve ikinci kapalı yola giriş noktasıdır ve
her iki kapalı yola dahildir. Yolculuğun başlarında sağa dönüş sayısı az
olacağı için prens kapalı yollarda bir tam tur atamadan çıkabilir ancak
bunun hiçbir önemi yok. Önemli olan sağa dönüş sayısının kapalı yolun
çevresi p'ye bölümünden kalan, yani (mod p)'deki değeridir. Eğer bu kalanı
ve kapalı yola giriş noktasını biliyorsak, çıkış noktasını yani bir sonraki
kapalı yola giriş noktasını da bulabiliriz. Ters yönde düşünürsek, çıkış
noktasını ve (mod p)'deki değeri biliyorsak kapalı yola giriş noktasını da
bulabiliriz. Bizim işimize bu ikinci yöntem yarayacak.

Çizgemiz sonlu olduğu için, prensin sürekli sağa dönerek dolanabileceği
farklı "kapalı yol" sayısı da sonludur. Çizgemizde m tane farklı kapalı yol
olduğunu varsayalım ve bunların çevrelerini(bir tam dönüşte geçilen kenar
sayıları) p1, p2, ... , pm olarak adlandıralım ve N = p1 x p2 x...x pm
çarpımını elde edelim. Şimdi prensin yolculuğunda aynı sola dönüşün(yolculuk
dizisindeki aynı sıralı üçlünün) iki kere yer aldığını ve bu sola
dönüşlerden hemen önceki sağa dönüş sayılarının (mod N)'deki değerlerinin
eşit olduğunu varsayalım. Sola dönüşler aynı olduğu için ve her sola dönüş
aynı zamanda bir kapalı yoldan çıkışa karşılık geldiği için, çıkılan bu iki
kapalı yol da aynıdır. Bu kapalı yolun çevresine p diyelim. Sağa dönüş
sayıları (mod N)'de eşitse (mod p)'de de eşittir çünkü p N'i böler. Buna
göre kapalı yollara giriş noktaları da aynı olacaktır, bir başka deyişle bir
önceki sola dönüşler de aynıdır. Bu durumu daha iyi anlamak için noktalardan
oluşan yolculuk dizisini dönüşlerden oluşan bir diziye çevirip aşağıdaki
gibi yazalım ve düşüncelerimizi daha matematiksel bir dille anlatalım, bu
durumda genel bir yolculuk dizisi aşağıdaki gibi bir diziye dönüşecektir:


 sol[1] (1 saÄŸ) sol[2] (2 saÄŸ) ... sol[k] (k saÄŸ) ...


 Burada sol[n] n'inci sola dönüşü temsil ediyor, yani asıl yolculuk
dizisindeki bir sıralı üçlüye karşılık geliyor.

Şimdi bu diziyi aynı sola dönüşün iki kere yer aldığını varsayarak yazalım:


 ... sol[i-2] (i-2 saÄŸ) sol[i-1] (i-1 saÄŸ) sol[i] (i saÄŸ) ... sol[j-2] (j-2
saÄŸ) sol[j-1] (j-1 saÄŸ) sol[j] (j saÄŸ) ...


 Burada sol[i]=sol[j] olduğunu, yani bu iki sola dönüşün aynı sıralı üçlüye
karşılık geldiğini ve i-1=j-1(mod N) olduğunu varsayıyoruz. Aynı sola
dönüşler aynı kapalı yoldan çıkışa karşılık geldiği için, sol[i] ve
sol[j]'den önceki kapalı yollar aynıdır ve bu kapalı yolun çevresi p[i-1]
olsun. p[i-1] N'i böldüğünden, i-1=j-1(mod p[i-1]) olacaktır. Bu da
sol[i-1]=sol[j-1] eşitliğini doğuracaktır(kapalı yola giriş noktaları da
aynı olacağından). Ayrıca i-1=j-1(mod N) denkliği i-2=j-2(mod N) denkliğini
doğuracağından, biz şunu kanıtlamış olduk:


 sol[i]=sol[j] ve i-1=j-1(mod N) ise,


 sol[i-1]=sol[j-1] ve i-2=j-2(mod N)'dir ve tümevarımla

k>=0 ve i>k için sol[i-k]=sol[j-k] olacaktır.

Tümevarımla elde ettiğimiz bu son sonuç az sonra çok işimize yarayacak.


 Şimdi sola dönüşlere karşılık gelen sıralı üçlülere bakalım. Dizideki sola
dönüş sayısı sonsuz olduğu için bu üçlülerden de sonsuz tane vardır. Ancak
daha önce söylediğimiz gibi, sonlu tane noktadan oluşturulacak sıralı üçlü
sayısı sonlu olduğundan bu üçlülerden biri yolculuk dizisinde sonsuz kere
belirmelidir. Bir başka deyişle, prens aynı noktadan aynı şekilde sonsuz
kere sola dönmelidir. Bu aynı zamanda prensin sonsuz kere aynı kapalı yola
girdiğini(ve tabii sonsuz kere de çıktığını gösterir). Şimdi bu tekrar eden
sola dönüşten hemen önceki kapalı yoldaki sağa dönüş sayılarına bakalım,
daha doğrusu bu sayıların (mod N)'deki değerlerine bakalım. Bu sağa dönüş
sayılarından sonsuz tane olduğundan ancak (mod N)'de alınabilecek sadece N
farklı değer olduğundan, bu sağa dönüş sayıları (mod N)'deki değerlerden en
az birine sonsuz defa denk olmak zorundadır. Şimdi bu şekilde tekrar eden
sola dönüşlerden ilk ikisini önceki paragraftaki yazılış şekliyle dizimizde
gösterelim:


 sol[1] (1 saÄŸ) ... (i-1 saÄŸ) sol[i] ... (j-1 saÄŸ) sol[j] ...


 Burada i<j, sol[i]=sol[j] ve i-1=j-1(mod N)'dir. Öyleyse bir önceki
paragrafta kanıtladığımız gibi sol[i-k]=sol[j-k] olacaktır. Bu da
sol[i-(i-1)]=sol[1]=sol[j-(i-1)]=sol[j-i+1] eşitliğini doğuracaktır. j-i>0
olduğundan j-i+1>1'dir. Eğer prensin başlangıçta yaptığı sola dönüş olan
sol[1], (a b c) üçlüsüne karşılık geliyorsa, bu üçlü (j-i+1)inci sola dönüş
olarak tekrar edecektir, yani prens başlangıçta yaptığı sola dönüşün
aynısını tekrar yapacaktır, bir başka deyişle şatonun bulunduğu kenardan(a
ve b noktalarını birleştiren kenar) tekrar geçecektir.

Bu kanıt daha ileriye götürülebilir ve genel terimi sol[n] olan dizinin
periyodik olduğu kanıtlanabilir, ancak asıl yolculuk dizisi periyodik
deÄŸildir.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070217/068e32fb/attachment.htm