Re: [MD-sorular] artan fonksiyon kavramı hakkında

[Erdem Ünal]

*1)*f(x) fonksiyonun verilen (a,b) aralığında daima artan olması için "her
x1,x2 eleman (a,b) için x1<x2 iken f(x1)<f(x2) olmalıdır" şartı gerek ve
yeter şart mıdır?
Bu şart türev ile ilgili hiçbir şey söylemeden yeterli midir?

Bu şart değil tanım ( aslında gerek-yeter demişsin ,evet)
Dolayısıyla tek başına yeterli.



> *2)* "Verilen bir aralıkta fonksiyonun türevi pozitif ise fonksiyon o
> aralıkta  artandır." önermesinin çift gerektirme olarak yazılabilir mi?
> Daha açık söylersek "fonksiyon bir aralıkta artan ise o aralıkta türevi
> (eğer varsa) pozitiftir." önermesi doğru mudur?
>   Çift gerektirme olarak yazılamaz,doğru değil. Sonlu sayıda nokta için
> türevi 0 olsa dahi fonksiyon kati(daimi) artan olabilir.
>


 *3)* y=x^3 fonksiyonu daima artan mıdır?
>
Evet kati(daimi) artandır. Tanımlı aralıkta alınan a<b için a^3<b^3 olduğunu
göstersek yeterli.

i)  a < 0 <= b ve a <= 0 < b durumları içn açıkça a^3 < b^3
ii) 0 <= a < b olsun b^3-a^3=(b-a)(b^2+ba+a^2)  çarpımın sonu iki pozitif
ifadenin çarğımı dolayısıyla pozitif.
iii) a < b <= 0 olsun  0 <= (-b) < (-a) olur. Yukarıdaki adımları
uygularsak  (-b)^3<(-a)^3 , dolayısıyla a^3<b^3.



> *4)* Bir öys sorusunda üçüncü derece bir polinom verilip daima artan
> olduğu söylenmiş. Verilen doğru cevap türevin sadece pozitif olduğu durumu
> içeriyor. ( yani türev fonksiyonunun_ikinci derece bir polinom_
> diskriminantının sıfırdan büyük olduğu durumu )
> Fakat y=x^3 fonksiyonunun türevi daima pozitif değildir .
>
> Evet daima pozitif değil 3.x^2 yalnız x=0 durumu için 0 , diğer durumlarda
> pozitiftir. 1 tane durum içeriyor ( sonlu sayıda) dolayısıyla daimi artan.
>
>
> --
> If the facts don't fit the theory, change the facts. (Albert Einstein)
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070130/8c864dd5/attachment.htm