[MD-sorular] 2.Açıklama

dede_47 dede_47 at mynet.com
16 Tem 2007 Pzt 10:50:31 EEST


Değerli Dostlar;
Gelen e-maillerden anlıyorum ki, polinomlar da bulduğum
eşitliğin anlaşılması ve ıspatlanabilmesi için;1.açıklamam da
yetmemiş;konunun tam anlaşılabilmesi için benim n= 10. dereceye kadar
 "tam polinomlar" için elle yaptığım hesapları,n=4. derece için
yapacağım(Tam polinomdan kastım;baş ve son katsayıları da dahil,bütün
katsayıları mevcut olan polinomdur.)Şimdi vereceğim örnek
incelenirse,eksik katsayılı veya çok katlı kökleri olan polinom denklemler
için de verdiğim eşitliğin doğru olması gerektiği görülebilir.
Örnek:n=4 için tam polinom
denklemimiz;F(x)=a1*x^4+a2*x^3+a3*x^2+a4*x+a5 şeklindedir.Şimdi bu
denklemin 4 adet kokü olup bunları a,b,c,d ile gösterelim.( yazım
kolaylığı için x1,x2...x4 şeklinde göstermedim) Şu
halde F(x)=(x-a)((x-b)(x-c)(x-d) şieklinde yazılabilir.Bu eşitliğin
iki tarafının (e) tabanında logaritmasını
alalım:LogF(x)=Log(x-a)+Log(x-b)+Log(x-c)+Log(x-d) bulunur.Burada
logaritmik türev alınırsa
(dF(x)/dx)/F(x)=f(x)/F(x)=(1/(x-a))+ (1/(x-b))+(1/(x-c))+(1/(x-d))
elde edilir.Bu eşitlikte iki taraf F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) ile
çarpılırsa polinom denklemin türevi
f(x)=(x-b)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-c)
olur.Polinomun türevi olan bu son eşitlikten f(a)=(a-b)(a-c)(a-d); 
f(b)=(b-a)(b-c)(b-d);  f(c)=(c-a)(c-b)(c-d); 
f(d)=(d-a)(d-b)(d-c) bulunur.f(a) , f(b) , f(c) ve f(d) nin bu
eşitliklerinin tersi alınıp toplanırsa;
(1/((a-b)(a-c)(a-d)))+(1/((b-a)(b-c)(b-d))+(1/((c-a)(c-b)(c-d))+(1/((d-a)(d-b)(d-c)
olur. Bu son eşitlikte paydalar eşitlenip gerekli işlemler yapılırsa
sonucun sıfır olduğu görülecektir.Ben bu şekilde n=10. dereceye kadar olan
bütün polinomlar da hiçbir kısıtlama yapmadan hesapları elle yaparak
verdiğim eşitliğin doğru olduğunu gördüm.(n=10 dan büyük polinomlar da
hesapları bu şekilde elle yapmak artık işkence olmaya başlıyor,kağıt
boyutu yetmiyor!).Ancak genel bir (n.) polinom için bu eşitliğin
doğruluğunu ispatlayamadım.Aklıma şu anda geldi:Eğer verdiğim eşitlik
genel bir n için ispatlanabilirse,bu eşitliğin gemetrik/matematik veya
fiziksel anlamı ne olabilir? Bu konuda da fikirlerinizi almak isterim(eğer
eşitlik doğruysa ben yorumlayamadım da..).Bu açık örnekten sonra umarım
konu tam anlaşılmıştır.
Selam ve sevgilerimle iyi çalışmalar...
                                                                                                      
    A.Kadir Değirmencioğlu


____________________________________________________________________________
Zeynep Tokuş,Tan
Sağtürk,Kargo.....ve daha birçok ünlü Mynet email
kullanıyor! Ya sen?

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070716/ce08e602/attachment.htm 


MD-sorular mesaj listesiyle ilgili daha fazla bilgi