Re: [MD-sorular] 2.Açıklama

[Kerem Altun]

Basit bir kanitini bulmaya calisiyorum ama beceremedim. Ama soylediginiz sey
cok katli kokleri olan polinomlar icin gecerli olamaz. Ornegin verdiginiz
ornekte a = b ise, 1/f ifadelerinden iki tanesi tanimsiz olur.

Her neyse, dediginiz sey Cauchy's integral theorem ve residue theorem'den
cikiyor. Bir bakmanizi oneririm. Ama bunlara gerek olmadan daha basit bir
kanitini bulamadim.

Kerem


On 7/16/07, dede_47 <dede_47 at mynet.com> wrote:
>
> Değerli Dostlar;
> Gelen e-maillerden anlıyorum ki, polinomlar da bulduğum eşitliğin
> anlaşılması ve ıspatlanabilmesi için;1.açıklamam da yetmemiş;konunun tam
> anlaşılabilmesi için benim n= 10. dereceye kadar  "tam polinomlar" için elle
> yaptığım hesapları,n=4. derece için yapacağım(Tam polinomdan kastım;baş ve
> son katsayıları da dahil,bütün katsayıları mevcut olan polinomdur.)Şimdi
> vereceğim örnek incelenirse,eksik katsayılı veya çok katlı kökleri olan
> polinom denklemler için de verdiğim eşitliğin doğru olması gerektiği
> görülebilir.
> Örnek:n=4 için tam polinom denklemimiz;F(x)=a1*x^4+a2*x^3+a3*x^2+a4*x+a5
> şeklindedir.Şimdi bu denklemin 4 adet kokü olup bunları a,b,c,d ile
> gösterelim.( yazım kolaylığı için x1,x2...x4 şeklinde göstermedim) Şu
> halde F(x)=(x-a)((x-b)(x-c)(x-d) şieklinde yazılabilir.Bu eşitliğin iki
> tarafının (e) tabanında logaritmasını
> alalım:LogF(x)=Log(x-a)+Log(x-b)+Log(x-c)+Log(x-d) bulunur.Buradalogaritmik türev alınırsa
> (dF(x)/dx)/F(x)=f(x)/F(x)=(1/(x-a))+ (1/(x-b))+(1/(x-c))+(1/(x-d)) elde
> edilir.Bu eşitlikte iki taraf F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) ile çarpılırsa
> polinom denklemin türevi
> f(x)=(x-b)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-c)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-d)+(x-a)(x-b)(x-c)
> olur.Polinomun türevi olan bu son eşitlikten f(a)=(a-b)(a-c)(a-d);
> f(b)=(b-a)(b-c)(b-d);  f(c)=(c-a)(c-b)(c-d);  f(d)=(d-a)(d-b)(d-c)
> bulunur.f(a) , f(b) , f(c) ve f(d) nin bu eşitliklerinin tersi alınıp
> toplanırsa;
> (1/((a-b)(a-c)(a-d)))+(1/((b-a)(b-c)(b-d))+(1/((c-a)(c-b)(c-d))+(1/((d-a)(d-b)(d-c)
> olur. Bu son eşitlikte paydalar eşitlenip gerekli işlemler yapılırsa sonucun
> sıfır olduğu görülecektir.Ben bu şekilde n=10. dereceye kadar olan bütün
> polinomlar da hiçbir kısıtlama yapmadan hesapları elle yaparak verdiğim
> eşitliğin doğru olduğunu gördüm.(n=10 dan büyük polinomlar da hesapları bu
> şekilde elle yapmak artık işkence olmaya başlıyor,kağıt boyutu
> yetmiyor!).Ancak genel bir (n.) polinom için bu eşitliğin doğruluğunu
> ispatlayamadım.Aklıma şu anda geldi:Eğer verdiğim eşitlik genel bir n için
> ispatlanabilirse,bu eşitliğin gemetrik/matematik veya fiziksel anlamı ne
> olabilir? Bu konuda da fikirlerinizi almak isterim(eğer eşitlik doğruysa ben
> yorumlayamadım da..).Bu açık örnekten sonra umarım konu tam anlaşılmıştır.
> Selam ve sevgilerimle iyi çalışmalar...
>
>     A.Kadir Değirmencioğlu
>
> ____________________________________________________________________________
>
> *Zeynep Tokuş,Tan Sağtürk,Kargo.....ve daha birçok ünlü Mynet email
> kullanıyor! Ya sen?*<http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=21782&url=http://www.mynet.com/email/snrszemail.asp>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070716/20761b03/attachment.htm