Re: [MD-sorular] RE: (-pi)^pi hakkında

[E. Mehmet Kıral]

Çok kolay olması gerekiyor ama işin içinden çıkamadım.
Daha önceleri, üs alma a>0 için tanımlıdır diyip işin içinden
çıkmıştım, ama şimdi karmaşık sayıları düşününce sorun çıkıyor.

(-1)^3 sayısını düşünelim. Şimdi 3 = 6/2 olduğundan bu sayı (-1)^6/2
sayısına eşit olmalıdır, öyle değil mi?

Ancak -1 = (-1)^3 = (-1)^(6/2) = ((-1)^6)^(1/2) = 1^(1/2) = 1

Burada, şu anda, yukarıdaki problemin tam olarak nerede olduğunu
gördüm. Her zamanki gibi logaritmanın tek bir şekilde tanımlanamaması.
Yine de hoş bir gözlem olduğunu düşündüğümden mektubu tamamlıyorum.
Problemi tam olarak görmek için her şeyi karmaşık notasyonda yazalım.

-1 = (-1)^3 = exp(3pi * i) = exp (3 * ln (-1)) = exp(6/2 *ln (-1)) =
exp ( 6 ln (-1))^(1/2)
         = exp (6pi * i)^(1/2) = exp(0) ^(1/2) = exp 0 = 1

Buradaki sorun 1/2'yi dışarı almamızda, yani exp (ab) = exp(a)^b dememizde.
Peki bunu gerçelde diyebilirken, karmaşıkta sorun ne oluyor?
exp(a)^b = exp(b * ln exp(a))
İşte eğer ln exp (a) = a  olsa idi her şey güllük gülistanlık
olacaktı. Amma ve lakin ln exp (a) = a + k * 2pi i
Eğer b tamsayı olsaydı bu hiç fark etmezdi çünkü dışarıda bir üstel
fonksiyon daha var k*2pi i faktörünü yok edecek. Ancak b = 1/2 gibi
basit bir sayı ise bile örneğin o zaman k'nın tek ya da çift olmasına
göre sonuç değişiyor.
Bu da bize iki ayrı sonuç veriyor. Bunlar da karekökün iki ayrı
branch'ı oluyor. b irrasyonelse iş iyice çığırından çıkıyor.

Demek ki karmaşık sayılarda (a^b)^c = a^(bc) değilmiş her zaman.

2007/6/3, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
>
>
>
>
>
> a^b ancak a pozitifken tanimlidir derken, gercel sayilarda us almaktan
> sozetmistim.
>
> Aynen "karekok fonksiyonu sadece pozitif sayilar icin tanimlidir" derken
> oldugu gibi. Yoksa kompleks sayilarda negatif sayilarin da karekoku alinir
> elbet.
>
> Ne demek istedigim, aciklamamda kullandigim, "a^b = exp(b ln a) oldugundan,
> ln a'yi alabilmemiz icin a'nin pozitif olmasi lazim" ifadesinden de belli
> zaten.
>
> Kompleks sayilarda her seyin ussu alinabilir. Ali Ilik'in asagida verdigi
> link'te tanimi var.
>
> Ornegin, (-1)^pi = cos(pi^2) + i sin(pi^2) eger yanilmiyorsam, demek ki
> gercel bir sayi degil, kompleks bir sayi.
>
> Kok (-1)'in bir kompleks sayi olmasi gibi...
>
> Bu arada a^b fonksiyonu komplekslerde sorunsuz degildir. a < 0 iken b = 1/2
> 'de surekli olamaz yanlis animsamiyorsam.
>
> Ayrica, verilen link'teki tanim uygulandiginda, (-1)^(1/2) = i bulunuyor,
> yani tanim –i ile i arasinda bir secim yapiyor... Bir baska deyisle,
> conjugation otomorfizmasi us alma fonksiyonuna saygi duymuyor.
>
> Ali
>
>
> ________________________________
>
>
> From: Ali İlik [mailto:aliilik at gmail.com]
> Sent: Sunday, June 03, 2007 3:05 PM
> To: ali nesin
> Subject: (-pi)^pi hakkında
>
>
>
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function#On_the_complex_plane
>
>
>
>
>
> linkine göre hem a hem b kompleks iken a^b nin hesaplanmasından
> bahsetmişler.
>
> Üstteki linkte yazılanlarla hemfikirseniz listeye bir açıklama yollamanız
> faydalı olur sanırım. Zira "a^b ancak a>0 için tanımlıdır." demiştiniz.
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.